Question

Точка А1 (-4;6) є образом точки А(-2;3) при гомотетії з центром у початку координат. Чому дорівнює коефіцієнт гомотетії?

Answer 1

Коефициент  равен  2
к=2

Answer 2

Гомотетія - це геометричне преобразование, яке утворює новий об'єкт, подібний до вихідного, шляхом зміни масштабування вздовж лінії чи центру. У цьому випадку центром гомотетії є початок координат (0, 0), і ми хочемо знати, як точка A1(-4, 6) перетворюється в точку A(-2, 3) під дією цієї гомотетії.

Коефіцієнт гомотетії (зазвичай позначається як "k") визначає масштабування. Щоб знайти цей коефіцієнт, ми можемо використовувати наступну формулу:

k = (розмір нового об'єкта) / (розмір вихідного об'єкта)

У цьому випадку, ми можемо визначити розмір вихідного об'єкта, використовуючи координати точки A1(-4, 6) і початку координат (0, 0):

Розмір вихідного об'єкта = √((-4 - 0)^2 + (6 - 0)^2) = √((-4)^2 + 6^2) = √(16 + 36) = √52

Тепер ми можемо визначити розмір нового об'єкта, використовуючи координати точки A(-2, 3) і початку координат (0, 0):

Розмір нового об'єкта = √((-2 - 0)^2 + (3 - 0)^2) = √((-2)^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13

Тепер, ми можемо знайти коефіцієнт гомотетії:

k = (розмір нового об'єкта) / (розмір вихідного об'єкта) = √13 / √52

Але щоб спростити вираз, можна помножити обидва чисельник і знаменник на √4, щоб отримати цілі числа:

k = (√13 / √52) * (√4 / √4) = (√(13 * 4) / √(52 * 4)) = √(52) / √(208)

Тепер, ми можемо спростити корені:

k = (√(4 * 13) / √(4 * 52)) = (√4 * √13) / (√4 * √52) = (2 * √13) / (2 * √13 * √4) = 1 / √4

Остаточно:

k = 1 / 2

Отже, коефіцієнт гомотетії дорівнює 1/2. Гомотетія з центром у початку координат, яка перетворює точку A1 в точку A, зменшує всі відстані на половину.