Question

Визначте вид чотирикутника АВСD (паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат), якщо: А (2; 3), В (3; 5), С (4; 3), D (3; 1).

Answer 1

Определите вид четырехугольника АВСD (параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат), если: А (2; 3), В (3; 5), С (4; 3), D (3; 1).

Объяснение:

d=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²),  где (х₁;у₁),  (х₂;у₂) -координаты концов отрезка.

АВ=√(1²+2²)=√5,   ВС=√(1²+(-2)²)=√5,  СD=√( (-1)²+(-2)²)=√5,

 АD=√(1²+(-2)²)=√5 ⇒все стороны равны, значит это либо ромб , либо квадрат.

Найдем угол между сторонами ВА и  ВС .

Найдем координаты вектора ВА(-1; -2)  , ВС(1 ;-2).

cos(BA;ВС)= $\frac{BA*BC}{|BA|*|BC|}$

cos(BA;ВС)=$\frac{-1*1+(-2)*(-2)}{\sqrt{5} ^{2} }$ = $\frac{3}{5}$ ⇒ это ромб , т.к у квадрата угол 90° (cos 90°=0)

Answer 2

Для визначення виду чотирикутника ABCD на основі координат його вершин, можна використовувати різні характеристики цього чотирикутника. Один з підходів - перевірити, чи вони утворюють паралелограм, прямокутник, ромб або квадрат.

1. Паралелограм: Чотирикутник називається паралелограмом, якщо протилежні сторони паралельні. Для цього можна перевірити, чи відповідні сторони мають однакові нахил або коефіцієнти нахилу. У нашому випадку, ми маємо точки A(2, 3), B(3, 5), C(4, 3) і D(3, 1).

Спершу розрахуємо нахил сторін AB і CD: Нахил сторони AB = (5 - 3) / (3 - 2) = 2/1 = 2. Нахил сторони CD = (1 - 3) / (3 - 4) = (-2)/(-1) = 2.

Таким чином, нахили сторін AB і CD однакові. Тепер розглянемо сторони BC і DA:

Нахил сторони BC = (3 - 5) / (4 - 3) = (-2)/1 = -2. Нахил сторони DA = (1 - 3) / (3 - 2) = (-2)/1 = -2.

Отже, нахили сторін BC і DA також однакові.

Отже, всі сторони паралельні, і ми маємо паралелограм.

2. Прямокутник: Прямокутник - це спеціальний випадок паралелограма, де всі кути прямі. Для визначення, чи є ABCD прямокутником, ми також повинні перевірити, чи перпендикулярні діагоналі.

Діагоналі чотирикутника ABCD: Діагональ AC і діагональ BD можна знайти за допомогою координат вершин: Діагональ AC = √((4 - 2)² + (3 - 3)²) = √(2² + 0²) = √4 = 2. Діагональ BD = √((3 - 3)² + (5 - 1)²) = √(0² + 4²) = √16 = 4.

Якщо діагоналі паралельногограма перпендикулярні, то це прямокутник. Однак в нашому випадку, діагоналі не перпендикулярні (2 ≠ 4), отже, ABCD не є прямокутником.

3. Ромб: Ромб - це паралелограм, всі сторони якого мають однакову довжину. Перевіримо довжини сторін AB, BC, CD і DA:

AB = √((3 - 2)² + (5 - 3)²) = √(1² + 2²) = √5. BC = √((4 - 3)² + (3 - 5)²) = √(1² + 2²) = √5. CD = √((3 - 4)² + (1 - 3)²) = √(1² + 2²) = √5. DA = √((2 - 3)² + (3 - 1)²) = √(1² + 2²) = √5.

Усі сторони мають однакову довжину, отже, ABCD - це ромб.

4. Квадрат: Квадрат - це спеціальний випадок ромба, де всі кути прямі і всі сторони мають однакову довжину. У нашому випадку, ми вже побачили, що ABCD - ромб, а отже, він також є квадратом.

Отже, чотирикутник ABCD є ромбом і квадратом, оскільки всі сторони мають однакову довжину і всі кути прямі.