Question

20 БАЛЛОВ! Даны четыре точки a(0;1;-2) b(1;-1;2) c(3;1;0) d(2; -3; 1). Найдите синус угла между прямой AB и плоскостью BCD!

Answer 1

Даны четыре точки A(0;1;-2), B(1;-1;2), C(3;1;0), D(2; -3; 1).

По трём точкам В, С и Д находим уравнение плоскости ВСД.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:  

x - x1         y - y1           z - z1 = 0  

x2 - x1      y2 - y1          z2 - z1  

x3 - x1      y3 - y1          z3 - z1  

x - 1         y - (-1)            z - 2 = 0  

3 - 1          1 - (-1)            0 - 2  

2 - 1           (-3) - (-1)        1 - 2  

x - 1          y - (-1)          z - 2 = 0  

2                 2                    -2  

1                -2                   -1  

(x - 1 )( 2 • (-1) - (-2) • (-2) ) - (y - (-1) )( 2 • (-1) - (-2) • 1 ) + (z - 2 )( 2 • (-2) - 2 • 1 ) = 0  

(-6) (x - 1 ) + 0 (y - (-1) ) + (-6) (z - 2 ) = 0  

- 6 x - 6 z + 18 = 0 .

Сократив на -6, получаем уравнение плоскости ВСД:

ВСД: x + z - 3 = 0.

Угол между прямой АВ  и плоскостью BCD.

Точки A(0;1;-2), B(1;-1;2)

Вектор АВ:(1; -2; 4). Его модуль равен √(1 + 4 + 16) = √21.

Нормальный вектор плоскости n:1; 0; 1).

Его модуль равен √(1 + 0 + 1) = √2.

Их скалярное произведение равно:  1 + 0 + 4 = 5.

sin fi = = 5/(√21*√2) = 5/√42 ≈ 0,771517.

Угол равен  

0,881222 радиан

50,49029 градус .

Answer 2

Для нахождения синуса угла между прямой AB и плоскостью BCD, мы сначала должны найти вектора, соответствующие этой прямой и плоскости, а затем использовать формулу для вычисления синуса угла между двумя векторами.

1. Вектор, соответствующий прямой AB, можно найти как разницу координат точек B и A: AB = (1 - 0, -1 - 1, 2 - (-2)) = (1, -2, 4).

2. Теперь давайте найдем векторы, лежащие в плоскости BCD. Для этого мы можем найти два вектора в этой плоскости, например, вектор BC и вектор BD.

   BC = (3 - 1, 1 - (-1), 0 - 2) = (2, 2, -2), BD = (2 - 1, -3 - (-1), 1 - 2) = (1, -2, -1).

3. Теперь нам нужно найти нормальный вектор к плоскости BCD, который можно получить как векторное произведение векторов BC и BD:

   n = BC × BD = i(2 * (-1) - (-2) * (-2)) - j(2 * 1 - (-2) * (-1)) + k(2 * (-2) - (-2) * (-2)) = i(-4 - 4) - j(2 - 2) + k(-4 + 4) = i(-8) - j(0) + k(0) = (-8, 0, 0).

4. Теперь мы можем использовать формулу для синуса угла между векторами:

   sin(θ) = |(AB × n)| / (|AB| * |n|),

где |AB × n| - это модуль векторного произведения AB и n, а |AB| и |n| - модули самих векторов.

|AB × n| = |(1 * (-8) - (-2) * 0 - 4 * 0)| = |(-8)| = 8, |AB| = √(1^2 + (-2)^2 + 4^2) = √(1 + 4 + 16) = √21, |n| = √((-8)^2 + 0^2 + 0^2) = √64 = 8.

Теперь мы можем вычислить синус угла θ:

sin(θ) = 8 / (8 * √21) = 1 / √21.

Таким образом, синус угла между прямой AB и плоскостью BCD равен 1 / √21.