Question

№ 3. Стороны параллелограмма относятся как 1:2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма. № 4. В равнобедренной трапеции сумма углов при большем основании равна 960. Найдите углы трапеции.№ 1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.№ 2. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4: 5.№ 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.№ 4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB,∟ADB = ∟BDC = 300. Найдите длину АD, если периметр трапеции равен 60 см.№ 5*. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов АВС и ВСD пересекаются в точке М. На прямых АВ и СD взяты точки К и Р так, что А –В – К, D – C – P.

Answer 1

Пусть х см-одна сторона
         (х+5)см-другая сторона прямоугольника
Р-2*(а+в);  2*(х+х+5)=50
                  2х+5=25
                 2х=25-5
                 2х=20
                 х=10

10см-одна сторона прямоугольника; 10+5=15(см)-другая
2. угол А-угол прямоугольника
   3х+6х=90, где 3хград и6х град-углы, которые образует диагональ со сторонами прям-ка
   9х=90; х=10; 3*10=30град; 6*10=60град
Сумма углов треуг-каАОВ 180град: 60+60+х=180; х=60град
Из треуг-каАОД  30+30+х=180; х=120
60град-угол между диагоналями (берём наименьший!)
3. АВСД-параллелограмм; ВД-диагональ, ВД перпендикуляна АД! ВД=АД
тр-ник АВД-прямоугольный; tgA=BD /AD; tgA=1; УголА=45град
уголС=углуА=45гра(противоположные углы парал-ма)
УголА+уголВ=180град; УголВ=180-45; уголВ=135град
уголД=углуВ=135град
Ответ. 45град;135град;45; 135градусов

Answer 2

Решение:

Задача №1: Найдите длины сторон параллелограмма при известном периметре и разности длин сторон.

Пусть x - длина одной стороны параллелограмма. Также известно, что одна из сторон на 5 см больше другой. Тогда вторая сторона будет равна (x - 5) см. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: Периметр = x + (x - 5) + x + (x - 5) = 50 см.

Упростим уравнение: 4x - 10 = 50 4x = 60 x = 15

Таким образом, длина одной стороны параллелограмма равна 15 см, а другой стороны - 10 см.

Задача №2: Найдите угол между диагоналями прямоугольника при известных отношениях их деления на угол прямоугольника.

Пусть alpha - угол, который каждая из диагоналей делит на отношение 4:5. Тогда угол между диагоналями будет равен углу, образованному этими отрезками, умноженному на отношение 4:5.

Пусть beta - угол между диагоналями прямоугольника. Тогда alpha = beta * (4/5).

Таким образом, если угол, который каждая из диагоналей делит на отношение 4:5, равен alpha, то угол между диагоналями будет равен beta = alpha * (5/4).

Задача №3: Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.

Пусть a - длина стороны параллелограмма и диагонали, которая является высотой. Пусть b - длина другой стороны параллелограмма. Пусть alpha - угол между этой стороной и диагональю (высотой).

Так как одна из диагоналей является высотой параллелограмма, то она перпендикулярна к основе и разделяет ее на две равные части. Таким образом, каждая из этих частей будет равна b/2.

Также известно, что диагональ равна одной из сторон параллелограмма, то есть a = b.

У нас есть прямоугольный треугольник со сторонами a, b/2 и гипотенузой a. Тогда по теореме Пифагора: a^2 = (b/2)^2 + a^2 a^2 = b^2/4 + a^2 3a^2 = b^2/4

Также угол между стороной и диагональю равен alpha.

Таким образом, мы имеем систему уравнений: 3a^2 = b^2/4 (1) tan(alpha) = a / (b/2) = 2a/b (2)

Решим эту систему уравнений. Из уравнения (2) получаем: alpha = arctan(2a/b)

Подставим полученное значение alpha в уравнение (1): 3a^2 = b^2/4 12a^2 = b^2 b = sqrt(12) * a

Таким образом, мы получили, что сторона b равна sqrt(12) * a, а угол alpha равен arctan(2a / (sqrt(12) * a)).

Задача №4: Найдите длину AD в трапеции, если известны периметр и углы.

Пусть AD - длина боковой стороны трапеции. Пусть AB и CD - основания трапеции.

Так как диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, то треугольник ADB - прямоугольный треугольник. Также из условия задачи известно, что угол ADB = 300.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник с углом при вершине D равным 300 и гипотенузой AD.

Пусть AD = x.

Тогда, применяя тригонометрический синус для прямоугольного треугольника: sin(300) = x / BD

sin(300) = 1/2

Таким образом, мы получили, что x / BD = 1/2.

Также известно, что периметр трапеции равен 60 см. Периметр = AB + BC + CD + AD = AB + BC + CD + x = 60 AB + BC + CD = 60 - x

Так как AD = x и BD = BC, то AB = CD = (60 - x) / 2.

Таким образом, мы получили, что длина боковой стороны AD равна x, а длины оснований AB и CD равны (60 - x) / 2.

Задача №5: В параллелограмме ABCD биссектрисы углов АВС и ВСD пересекаются в точке М. На прямых АВ и СD взяты точки К и Р так, что А – В – К, D – C – Р.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство параллелограмма, согласно которому противоположные углы параллелограмма равны.

Ответ:

- Задача №1: Длина одной стороны параллелограмма равна 15 см, а другой стороны - 10 см. - Задача №2: Угол между диагоналями прямоугольника равен beta = alpha * (5/4), где alpha - угол, который каждая из диагоналей делит на отношение 4:5. - Задача №3: Длина стороны параллелограмма равна a, длина другой стороны - b = sqrt(12) * a, угол между стороной и диагональю равен alpha = arctan(2a / (sqrt(12) * a)). - Задача №4: Длина боковой стороны AD трапеции равна x, длины оснований AB и CD равны (60 - x) / 2. - Задача №5: Противоположные углы параллелограмма равны.