Question

Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается её диагоналями на три части. Докажите, что отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой

Answer 1

Відповідь:

Дано:

трапеция АВС D: MN   — отрезок, параллельный основаниям трапеции ABCD   , который пересекает боковые стороны в точках M  , N  , а диагонали в точках K  , P  .

Докажите, что отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой

Доказательство:

По теореме Фалеса BM :CN = AM :DN  .

Пусть AM  =x  , BM  =kx  , DN  =y  , CN = ky  .    

Из подобия △KCN  ∼△ACD   (∠C   — общий, ∠CKN = ∠CAD   как соответственные при KN ∥AD   и секущей AC  ) имеем:

KN/  AD = CN/ CD =   k/ k+1 = p ⇒   KN = p⋅AD

Аналогично из подобия △MBP  ∼△ABD   имеем:

MP/ AD= BM/ВА= k/к+1= p  ⇒   MP = p*AD

Следовательно,

MK  =MP − KP = p*AD − KP = KN − KP =P N,что и требовалось доказать

Пояснення:

Answer 2

Пусть $ABCD$ - трапеция, где $AB$ и $CD$ - основания, а $AD$ и $BC$ - боковые стороны. Пусть также $EF$ - отрезок прямой, параллельной основаниям, который разбит диагоналями $AC$ и $BD$ на три части: $AE = EF = FB$.

Мы хотим доказать, что $AD = BC$. Рассмотрим теугольники $AED$ и $FBC$. У нас есть:

1. $AE = FB$ (по условию).
2. $\angle AED = \angle FBC = 90^\circ$ (так как $EF$ параллельна основаниям, и диагонали трапеции пересекаются в прямом угле).

Таким образом, у нас есть два треугольника, имеющих равные стороны и прямые углы между ними. По теореме о гипотенузе (или теореме Пифагора для прямоугольных треугольников) эти треугольники равны, и поэтому их соответствующие катеты тоже равны:

$AD = BC$.

Таким образом, отрезки, прилегающие к боковым сторонам трапеции, равны между собой, что и требовалось доказать.