Question

Очень прошу помочь. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка E, а внутри треугольника точка D. EM перпендикулярно AC, AM=CM, угол B=45 градусов, угол CDA=90 градусов, угол DCA=60 градусов. Доказать, что EM=DC.

Answer 1

Пусть АМ = СМ = а, тогда АС = 2а.
Если угол В = 45гр, то поскольку  ΔАВС прямоугольный, то второй уострый угол его угол А = 45гр. Тогда ΔАВС равнобедренный и ВС = АС = 2а.
Поскольку АМ = СМ, а ЕМ перпендикулярно АС, то ЕМ параллельно ВС и ЕМ - средняя линия ΔАВС и ЕМ = 0,5ВС = а
В ΔАСД  угол Д прямой, АС - гипотенуза, а угол АСД = 60гр. Следовательно угол САД = 30гр. А катет СД, лежащий против угла в 30 гр., равен половине гипотенузы АС, т.е. СД = АС : 2 = а
Таким образом ЕМ = а и СД = а, т.е. ЕМ = СД, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что EM=DC, мы можем использовать свойства подобных треугольников.

Давайте рассмотрим треугольники CDE и CAM:

1. Треугольник CDE:

   • Угол CDE = 90 градусов (поскольку CDA = 90 градусов).
   • Угол CED = 60 градусов (поскольку CDA = 60 градусов).
   • Угол CDE = 180 - 90 - 60 = 30 градусов.
   • Поскольку треугольник CDE прямоугольный и один угол равен 30 градусов, то он является треугольником 30-60-90.

2. Треугольник CAM:

   • Угол CAM = 45 градусов (дано).
   • AM = CM (дано).

Теперь мы видим, что треугольник CDE - это треугольник 30-60-90, а треугольник CAM - это треугольник 45-45-90. Оба треугольника являются подобными, так как они имеют одинаковые отношения сторон и равные углы.

Из подобия треугольников мы можем сделать вывод о том, что соответствующие стороны также имеют одинаковые отношения. В частности, EM/DE = AM/CM.

Поскольку AM = CM (дано), мы можем записать EM/DE = 1. Теперь нам нужно показать, что EM = DE, чтобы завершить доказательство.

Из уравнения EM/DE = 1 следует, что EM = DE. Таким образом, мы доказали, что EM = DC.