Question

Докажите,что суждение верно. В равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий концы биссектрис, проведенных из вершин основания, параллелен основанию.

Answer 1

Для этого достаточно доказать, что треугольники образованные основанием и концами биссектрис равны, а они равны по стороне и двум прилегающим к ней углам. Значит и высоты, опущенные на основание,  в этих треугольниках равны. Концы биссектрис равноудалены от основания, что и доказывает утверждение.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Проведем биссектрисы углов A и C, которые пересекутся в точке O, как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
      A
     / \
    /   \
   /     \
  /   O   \
 /---------\
B           C

Так как треугольник ABC равнобедренный, у него равны два угла: ∠BAC и ∠BCA. Их биссектрисы также равны по длине и образуют угол при вершине O, который можно обозначить как ∠BOC.

Теперь рассмотрим треугольники ABO и ACO. У них одинаковые боковые стороны AB и AC (по определению равнобедренного треугольника) и равные биссектрисы AO и CO (по построению).

Из этого следует, что треугольники ABO и ACO равны по стороне, стороне и углу (по стороне-уголу-стороне, или СУС). Следовательно, у них равны углы ∠BOA и ∠COA, и треугольники ABO и ACO подобны.

Теперь, так как треугольники ABO и ACO подобны, угол ∠BOC равен углу ∠BOA, так как это соответствующий угол подобных треугольников. Это означает, что отрезок BC параллелен отрезку AO.

Таким образом, суждение верно: в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий концы биссектрис, проведенных из вершин основания, параллелен основанию.