Question

Стороны AB, BC и AC треугольника касаются окружности с центром O в точках M, K и P соответственно так, что BM=5, PС=7, а периметр треугольника ABC равен 32. Найдите длину стороны AC.

Answer 1

BM=BK=5см(отрезки касательн. из т. B)
PC=KC=7см(отрезки касательн. из т. С)
BC=BK+KC=5+7=12(см)
AM=AP=x(отрезки касат. из т. А)
AB=AM+BM=x+5
AC=AP+PC=х+7
Равс=АВ+ВС+АС
х+5+12+х+7=32
2х=8
х=4
АР=4см. АС=4+7=11см
Ответ:11см

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться свойствами касательных к окружности и теоремой Пифагора.

Сначала давайте обозначим длины отрезков AM, BK и CP как a, b и c соответственно. Затем давайте рассмотрим треугольник AOB, где O - центр окружности, AB - радиус окружности. Поскольку BM = 5 и BK - это радиус окружности, то a + b = 5.

Аналогично, в треугольнике COP, где CP - радиус окружности, c + a = 7.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + b = 5
2. a + c = 7

Выразим a из обоих уравнений и приравняем их:

a + b = 5 a + c = 7

Теперь выразим a из первого уравнения: a = 5 - b.

Подставим это значение a во второе уравнение:

5 - b + c = 7

Теперь выразим c:

c = 7 - 5 + b c = 2 + b

Теперь у нас есть выражения для a и c через b. Теперь мы можем рассмотреть треугольник ABC:

AB + BC + AC = 32

AB - это радиус окружности, так что AB = BK + AK = b + a. Мы уже знаем, что a = 5 - b, поэтому AB = b + (5 - b) = 5.

BC = BK + KC = b + c = b + (2 + b) = 2b + 2.

AC = AM + MC = a + c = (5 - b) + (2 + b) = 7.

Теперь мы можем записать уравнение для периметра треугольника ABC:

AB + BC + AC = 5 + (2b + 2) + 7 = 32

Теперь решим это уравнение:

5 + 2b + 2 + 7 = 32 2b + 14 = 32

Выразим 2b:

2b = 32 - 14 2b = 18

Теперь разделим обе стороны на 2, чтобы найти b:

b = 18 / 2 b = 9

Теперь у нас есть значение b, и мы можем найти AC:

AC = 7

Итак, длина стороны AC равна 7.