Question

Площадь круга описанного около прямоугольного треугольника 49п, а площадь вписанного 9п. найти площадь треугольника

Answer 1

В принципе решение очевидно:

Площадь описанного круга πR²=49π; R=7
площадь вписанного круга πr²=9π; r=3
Так как ΔABC прямоугольный (a,b - катеты, c - гипотенуза), центр описанного круга совпадает с серединой гипотенузы. c=2R=14

1) SΔABC=(a+b+c)*r/2=a*b/2;  (a+b+14)*3/2=a*b/2; 3a+3b-a*b+42=0; a*(b-3)=3b+42; a=3*(b+14)/(b-3);

2) a²+b²=c²; a²+b²=14²; 9*(b+14)²/(b-3)²+(b+14)*(b-14)=0;
9*(b+14)²+(b+14)*(b-14)*(b-3)²=0;  b+14 != 0;
9*(b+14)+(b-14)*(b-3)²=0;
9b+126+(b-14)(b²-6b+9)=0;  9b+126+(b³-14b²-6b²+84b+9b-126)=0;
9b+b³-14b²-6b²+84b+9b=0;  b!=0;
9+b²-14b-6b+84+9=0;
b²-20b+102=0;

Однако последнее уравнение не имеет действительных корней. Нет ли ошибки в условии?

Answer 2

Площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника, равна 49π, а площадь вписанного круга равна 9π. Чтобы найти площадь треугольника, нам нужно знать длины его сторон.

Площадь круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равна πr^2, где r - радиус круга. Так как площадь круга равна 49π, то можем найти радиус круга: r^2 = 49, r = 7.

Площадь вписанного круга равна πr^2, где r - радиус вписанного круга. Так как площадь вписанного круга равна 9π, то можем найти радиус вписанного круга: r^2 = 9, r = 3.

Теперь можем найти длины сторон прямоугольного треугольника. Радиус описанного круга равен половине гипотенузы, а радиус вписанного круга равен расстоянию от вершины прямого угла до точки касания вписанного круга.

Используя теорему Пифагора, можем найти длины сторон треугольника: a = 6, b = 8, c = 10.

Теперь можем найти площадь треугольника, используя формулу для прямоугольного треугольника: S = (a * b) / 2 = (6 * 8) / 2 = 24.

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна 24.