Question

Из точки А к окружности с центром в точке О проведены две касательные АС и АВ (В и С- точки касания) Докажите , что Δ АОС=ΔАОВ. Срочно!!! Даю 20 баллов.

Answer 1

Эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Действительно. т.к. касательная перпендикулярна радиусу, проведенную в точку касания, то

ОС⊥АС, ОВ⊥АВ, значит, указанные треугольники прямоугольные, в них гипотенуза ОА - общая, а катеты ОС=ОВ, как радиусы.

Удачи.

Answer 2

Чтобы доказать, что треугольники $\triangle AOS$ и $\triangle AOB$ равны по площади, мы можем воспользоваться следующими фактами:

1. Касательная, проведенная к окружности из данной точки, равна по длине до точки касания.
2. Для любого треугольника площадь можно выразить как $\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOS$ и $\triangle AOB$:

1. Они имеют общую сторону $AO$.
2. Стороны $OS$ и $OB$ равны, так как это радиусы одной и той же окружности.
3. Углы при основании $OS$ и $OB$ равны 90°, так как это касательные к окружности, а радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной.

Таким образом, треугольники $\triangle AOS$ и $\triangle AOB$ являются прямоугольными и имеют общий катет $AO$ и равные по длине гипотенузы (стороны, прилегающие к прямому углу).

Такие треугольники называются гипотенузами равных прямоугольных треугольников, и они всегда равны по площади. Поэтому можно утверждать, что $\triangle AOS = \triangle AOB$.