Question

Решить задачу. В равнобедренной трапеции АВСД длина боковой стороны АД=5см. Биссектрисы углов АВС и ВСД пересекаются в точке Р. На прямых АВ и СД взяты точки F и Q так, что В лежит между А и F, а С - между Д и Q. Биссектрисы углов FВС и ВСQ пересекаются в точке К. Найти длину отрезка РК.

Answer 1

Ответ:

РК = 5 см.

Объяснение:

BC = AD = 5см. (трапеция равнобедренная).

AF параллельна  DQ, как прямые, содержащие основания трапеции).  =>

∠ BPC = ∠ BKC = 90° так как биссектрисы углов, в сумме равных 180° (внутренние односторонние при параллельных AF и DQ и секущей ВС), пересекаются под прямым углом (свойство).  Тогда

РВКС - прямоугольник. В прямоугольнике диагонали равны, значит РК = ВС = 5 см.

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

1. Из условия известно, что трапеция ABCD равнобедренная, то есть углы A и B равны, а стороны AD и BC параллельны.

2. Поскольку AD = 5 см, мы можем предположить, что BD = CD = 5 см (так как трапеция равнобедренная).

3. Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке P, которая также является серединой отрезка BC.

4. Поскольку P - середина BC, то BP = CP = 5/2 см.

5. Поскольку BP = CP, то треугольник BPC - равнобедренный, а значит углы PBC и PCB равны. Так как это биссектрисы этих углов, то они делят соответствующие углы пополам.

6. Углы ABF и CDE равны, так как это углы оснований равнобедренной трапеции.

7. Поскольку P - середина отрезка BC, то FP = PC = 5/2 см.

8. Так как FP = PC, то треугольник FPC - равнобедренный, а значит углы FCP и PCF равны. Эти углы делят угол BCF пополам.

9. Теперь обратим внимание на треугольник BCQ. Угол BCQ равен углу BCD, так как они соответственные. А угол CQB равен углу ABC, так как они вертикальные.

10. Заметим, что треугольники BPC и BCQ подобны по двум углам, так как у них есть два равных угла и общий угол.

11. Теперь обратим внимание на треугольники CFP и CQD. Угол CFP равен углу CDE, так как они вертикальные. Угол CQD равен углу CAB, так как они соответственные.

12. Заметим, что треугольники CFP и CQD подобны по двум углам, так как у них есть два равных угла и общий угол.

13. Из подобия треугольников CFP и CQD можем записать пропорцию:

$\frac{CF}{CQ} = \frac{FP}{QD}$

$\frac{5/2}{CQ} = \frac{5/2}{QD}$

$CQ = QD$

14. Так как CQ = QD, то треугольник CQD равносторонний, а значит все его стороны равны 5/2 см.

15. Теперь рассмотрим треугольники BPK и BQK. Они подобны, так как у них есть два равных угла и общий угол.

16. Из подобия треугольников BPK и BQK можем записать пропорцию:

$\frac{BP}{BQ} = \frac{PK}{QK}$

$\frac{5/2}{5/2} = \frac{PK}{QK}$

$PK = QK$

17. Так как PK = QK, то треугольник PKQ равносторонний, а значит все его стороны равны 5/2 см.

18. Теперь обратим внимание на треугольники PKR и PKQ. Угол PKR равен углу PKQ, так как они вертикальные. Угол KRP равен углу KQP, так как они соответственные.

19. Заметим, что треугольники PKR и PKQ подобны по двум углам, так как у них есть два равных угла и общий угол.

20. Из подобия треугольников PKR и PKQ можем записать пропорцию:

    $\frac{PK}{PQ} = \frac{KR}{KQ}$

    $\frac{5/2}{5/2} = \frac{KR}{5/2}$

    $KR = 5/2$

Итак, длина отрезка RK равна 5/2 см.