Question

Из точки О пересечения диагоналей квадрата АВСД проведён перпендикуляр ОН к плоскости квадрата.Докажите что ВД перпендикулярна НС ​

Answer 1

Доказательство:

    АВСД - квадрат. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.

 СО - проекция наклонной НС на плоскость квадрата. СО⊥ВД.

По т. о 3-х перпендикулярах: Если прямая m, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. ⇒ ВД перпендикулярна НС., ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок ВД (BD) перпендикулярен к отрезку НС (NC), мы можем использовать свойства квадрата и свойства перпендикуляра.

1. Начнем с того, что квадрат АВСД имеет все стороны равными и углы равными 90 градусов.

2. Перпендикуляр ОН (ON) проведен из точки O пересечения диагоналей. Поскольку ОН проходит через центр квадрата, он делит его пополам, и мы можем сказать, что ОН делит стороны квадрата на две равные части.

3. Теперь рассмотрим треугольник ОВН (OVN) и треугольник ОСН (OSN). В обоих треугольниках сторона ОН равна по длине, так как это общая сторона, а стороны ОВ (OV) и ОС (OS) равны, так как это стороны квадрата.

4. Таким образом, у нас есть два треугольника с равными сторонами и общей стороной. По свойству треугольников, угол ВОН (BON) равен углу СОН (SON), так как они противоположны равным сторонам.

5. Теперь рассмотрим треугольник ВДС (BDC) и треугольник НСО (NCO). Угол ВДС (BDC) равен углу НСО (NCO), так как они оба прямые углы (90 градусов), поскольку стороны квадрата перпендикулярны его диагоналям.

6. Итак, у нас есть два треугольника, у которых один угол равен другому углу, и углы при равных углах равны. Это означает, что треугольники ВДС (BDC) и НСО (NCO) подобны по углам.

7. По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны пропорциональны. Это означает, что отрезок ВД (BD) и отрезок НС (NC) пропорциональны, и, следовательно, ВД (BD) параллелен НС (NC).

8. Так как отрезок ВД (BD) параллелен НС (NC), а также углы ВДС (BDC) и НСО (NCO) равны, то ВД (BD) перпендикулярен НС (NC).

Таким образом, мы доказали, что отрезок ВД (BD) перпендикулярен к отрезку НС (NC).