Question

У кубі АВСDА1В1С1D1 з ребром а знайдіть відстань: 1) від вершини А1 до площини АВС; 2) від вершини В до площини АА1С.

Answer 1

Ответ:

По правилу о трёх перпендикулярах если прямая АА1 перпендикулярна рёбрам куба АВ и АД, то она перпендикулярна и прямой АС, лежащей в плоскости АВД. Поэтому длина ребра АА1 - это расстояние от точки А1 до АС.

Объяснение:расстояние от точки А1 до прямой АС равно 2 см.

Answer 2

Для знаходження відстаней від вершин до площин у кубі, можна скористатися формулою відстані від точки до площини. Формула виглядає наступним чином:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

де $(x_0, y_0, z_0)$ - координати точки, $Ax + By + Cz + D = 0$ - рівняння площини.

1. Від вершини $A_1$ до площини $ABCD$:

$A_1 = (a, a, a)$ - координати вершини $A_1$.

$ABCD: x + y + z = 0$ - рівняння площини $ABCD$.

Підставимо значення в формулу:

$d = \frac{|a + a + a + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{3a}{\sqrt{3}} = a\sqrt{3}$

Отже, відстань від вершини $A_1$ до площини $ABCD$ дорівнює $a\sqrt{3}$.

2. Від вершини $B$ до площини $AA_1C$:

$B = (0, a, 0)$ - координати вершини $B$.

$AA_1C: x - z = 0$ - рівняння площини $AA_1C$.

Підставимо значення в формулу:

$d = \frac{|0 + a + 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Отже, відстань від вершини $B$ до площини $AA_1C$ дорівнює $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.