Question

Хорды АС и ВД пересекаются в точке N. Докажите, что треугольник АВN подобен треугольнику ДСN.

Answer 1

Ответ:

Угол АNB=угол DNC так как они вертикальные.

Угол АВD – вписанный и опирается на дугу AD;

Угол DCA – вписанный и опирается на душу AD;

Тогда угол АВD=угол DCA как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Следовательно из доказанных равенств: ∆ABN~∆DCN по двум углам.

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников ABN и DSN, нам нужно показать, что у них соответствующие углы равны, а отношение длин соответствующих сторон одинаково.

Из условия известно, что хорды AC и BD пересекаются в точке N. Пусть P - точка пересечения AC и BD. Тогда у нас есть два треугольника: ΔAPN и ΔDPN.

1. Угол ANB и угол DNP образуют вертикальные углы и поэтому равны между собой.

2. Угол BNA и угол PND образуют вертикальные углы и также равны.

3. Угол PAN и угол PDN образуют вертикальные углы и равны.

Теперь давайте рассмотрим соответствующие стороны:

1. Сторона AB соответствует стороне DP (они обе делятся точкой N).

2. Сторона AN соответствует стороне DN (они обе делятся точкой P).

Теперь мы видим, что треугольники ABN и DSN имеют равные соответствующие углы и равные отношения длин соответствующих сторон. Следовательно, они подобны друг другу, и это доказывает требуемое утверждение.