Question

В треугольнике АВС медиана AD и биссектриса ВЕ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если угол АОВ равен 90 градусов, а площадь треугольника АОЕ равна 2.

Answer 1

Ответ: 24 (ед. площади)

Объяснение (подробно):

   В ∆ АВD биссектриса ВО перпендикулярна стороне АD, ⇒ ВО - высота ∆ АВD. Если биссектриса треугольника еще и высота, этот треугольник - равнобедренный. ВА=ВD, АО=ОD.

Примем АВ=а, тогда ВС=2а, т.к. ВD=DC.

Примем АО=ОD=m

   Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении сторон, заключающих этот угол.⇒

AE:EС=АВ:ВС=1:2.

Пусть АЕ=b, ЕС=2b.

    Рассмотрим ∆ АDC и ∆ АОЕ. Они имеют общий угол А.

    Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.

Ѕ(АОЕ)=m•b

S(ADE)=2m•3b =>

Ѕ(АОЕ):S(ADE)=mb:6mb=1/6 ⇒

S(ADK)=6•S(AOE)=6•2=12

Медиана делит треугольник на два равновеликих.

S(ABD)=S(ADC).

Ѕ(АВС)=2Ѕ(АDK)=2•12=24 (ед. площади)

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства медианы и биссектрисы в треугольнике. У нас есть следующая информация:

1. Угол АОВ равен 90 градусов.
2. Площадь треугольника АОЕ равна 2.

Давайте обозначим следующие величины:

• Площадь треугольника АВС: S.
• Длина медианы AD: MD.
• Длина отрезка BD: x.
• Длина отрезка CD: y.
• Длина отрезка BE: p.
• Длина отрезка CE: q.

Сначала определим, что медиана AD делит треугольник АВС на два равных треугольника, каждый из которых имеет площадь S/2. Так как площадь треугольника АОЕ равна 2, то мы можем записать:

S/2 = 2

Отсюда получаем:

S = 2 * 2 = 4

Теперь воспользуемся свойствами биссектрисы. Мы знаем, что угол АОВ равен 90 градусов, поэтому треугольник АОВ - это прямоугольный треугольник. Так как ВЕ - биссектриса, она делит угол АBC пополам. Поэтому угол АBE равен половине угла ABC, и угол ВЕС равен половине угла ACB.

Теперь мы можем использовать теорему о сходящихся лучах (см. теорему о биссектрисе):

x/y = p/q

Так как у нас уже есть соотношение для площади треугольника АВС, мы можем использовать его для нахождения отношения x/y:

S/2 = (x + y)/2 4/2 = (x + y)/2 2 = (x + y)/2 4 = x + y

Теперь у нас есть два уравнения:

x/y = p/q x + y = 4

Давайте решим это систему уравнений. Мы можем решить первое уравнение относительно x:

x = (p/q) * y

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

(p/q) * y + y = 4

Подставим значение p/q из первого уравнения:

[(p/q) * y] + y = 4

Умножим обе стороны на q, чтобы избавиться от дроби:

p * y + q * y = 4 * q

Теперь выразим y:

y * (p + q) = 4 * q

y = (4 * q) / (p + q)

Теперь мы знаем значение y, и мы можем найти x, используя первое уравнение:

x = (p/q) * y x = (p/q) * [(4 * q) / (p + q)]

x = (4 * p) / (p + q)

Теперь у нас есть значения x и y, и мы можем найти площадь треугольника АВС, используя формулу для площади треугольника через медиану:

S = (2/3) * MD * BE

S = (2/3) * (x + y) * (p + q)

Подставим значения x и y:

S = (2/3) * [(4 * p) / (p + q) + (4 * q) / (p + q)] * (p + q)

S = (2/3) * [(4 * p + 4 * q) / (p + q)] * (p + q)

Теперь упростим выражение:

S = (2/3) * 4 * (p + q)

S = (8/3) * (p + q)

Теперь у нас есть выражение для площади треугольника АВС через длины отрезков p и q. Мы также знаем, что площадь треугольника АОЕ равна 2, поэтому:

S = (8/3) * (p + q) = 2

Теперь решим это уравнение относительно p + q:

(8/3) * (p + q) = 2

Умножим обе стороны на (3/8):

p + q = 2 * (3/8)

p + q = 3/4

Теперь у нас есть значение p + q. Мы можем использовать его, чтобы найти площадь треугольника АВС:

S = (8/3) * (p + q) = (8/3) * (3/4) = 2

Итак, площадь треугольника АВС равна 2.