Question

В угол с вершиной С вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках А и В. Известно, что некоторая точка Р, лежащая на меньшей из дуг АВ окружности, удалена на расстояние 2 от прямой АВ и на расстояние 5 от прямой ВС. Найдите расстояние от точки Р до прямой АС.

Answer 1

Ответ:

∠РАВ=∠РВС (∠РАВ опирается на дугу ВР,значит равен ее половине; ∠РВС – угол между касательной и хордой, выходящими из одной точки, то есть равен половине дуги, заключенной внутри этого угла, т.е. половине дуги ВР)

Значит, прямоугольные △AEP ∼ △BGP по 2–м углам => АР/ВР=ЕР/GP=1/4

Аналогично, ∠РВА=∠РАС и △BEP ∼ △AFP => AP/BP=FP/EP

FP/EP=1/4

FP=1/4·EP=1/4·1=1/4=0,25

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию и попробуем найти расстояние от точки P до прямой AC.

Сначала обозначим радиус окружности как r. Так как окружность касается сторон угла AC и BC, то радиус окружности также является биссектрисой этого угла. Поэтому мы можем разделить угол ACB на два равных угла, каждый из которых равен углу CAP или CBP.

Далее, обозначим точки касания окружности с сторонами AC и BC как D и E соответственно. Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: ACP и BCP.

Мы знаем, что точка P находится на расстоянии 2 от прямой AB (стороны угла ACB) и на расстоянии 5 от прямой BC. Поэтому, если обозначить расстояние от точки P до линии AC как h1 и до линии BC как h2, мы можем записать следующие уравнения:

1. h1 + r = 2
2. h2 + r = 5

Теперь мы можем выразить r из первого уравнения: r = 2 - h1, и подставить его во второе уравнение:

2 - h1 + h2 = 5

Теперь выразим h1:

h1 = 2 - (h2 - 3)

Теперь у нас есть выражение для h1 в зависимости от h2. Мы также знаем, что угол CAP (или CBP) равен половине угла ACB, поскольку окружность касается сторон угла ACB и делит его на два равных угла.

Из тригонометрии мы знаем, что:

tan(угол) = противолежащая сторона / прилежащая сторона

В случае треугольника ACP, мы можем записать:

tan(угол CAP) = h1 / r

Или:

tan(угол CAP) = h1 / (2 - h1)

Аналогично, для треугольника BCP:

tan(угол CBP) = h2 / r

Или:

tan(угол CBP) = h2 / (2 - h1)

Теперь мы знаем, что угол ACB делится пополам, поэтому:

tan(угол ACB) = tan(2 * угол CAP) = 2 * tan(угол CAP)

Также, tan(угол ACB) можно найти как отношение противолежащей стороны (h2) к прилежащей стороне (2 - h1):

tan(угол ACB) = h2 / (2 - h1)

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих tan(угол ACB), и мы можем приравнять их:

2 * tan(угол CAP) = h2 / (2 - h1)

Теперь мы можем подставить значение tan(угол CAP), которое мы нашли ранее:

2 * (h1 / (2 - h1)) = h2 / (2 - h1)

Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствуют только переменные h1 и h2. Мы можем решить его, чтобы найти значения h1 и h2, а затем вычислить расстояние от точки P до прямой AC, используя h1.