Question

Через точку М-середину гіпотенузи АВ прямого трикутника АВС проведено площину паралельно катету ВС яка перетинає катет АС у точці N. Знайдіть СМ якщо ВС:АС=6:8 площина трикутника АМN дорівнює 24см²

Answer 1

Через точку М-середину гипотенузы АВ прямоугольного Δ АВС , проведена плоскость параллельно  катету ВС,которая пересекает катет АС в точке N. Найдите СМ если ВС: АС=6: S(Δ АМN) =24см²

Объяснение:

1) Тк МА=МВ, М∈α, α||BC , то MN- средняя линия ΔАВС и ΔAMN -прямоугольный .

2)М-середина ВС, значит М-центр описанной окружности для ΔАВС ⇒  СМ=МА=МВ.

3)ΔАВС~ ΔАМN  по 2-м углам : ∠А-общий, ∠АСВ=∠АNM как соответственные . Значит сходственные стороны пропорциональны

$\frac{BC}{AC} =\frac{MN}{AN} =\frac{6}{8}$ . Пусть одна часть х , тогда MN=6x,AN=8x.

4)ΔAMN -прямоугольный , S(ΔAMN)=24=1/2*MN*AN ,

1/2*6x*8x=24 ⇒x=1  ⇒  MN=6*1=6 (см)  ,AN=8*1=8 (cм).

5)ΔAMN -прямоугольный , по т. Пифагора АМ=√(6²+8²)=10 (см)

⇒  СМ=10 см.

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю задачу.

Позначимо довжини сторін трикутника ABC наступним чином: AB = a BC = 8x AC = 6x

Де x - це деякий коефіцієнт пропорційності, оскільки нам сказано, що BC до AC відноситься як 6 до 8.

За питанням ми знаємо, що площина трикутника AMN дорівнює 24 кв. см. Тобто:

Площа AMN = 24 кв. см²

Також ми знаємо, що М - середина гіпотенузи AB, тобто AM = MB = a / 2.

Площу прямокутника AMNC можна виразити як добуток довжини AM і довжини CN:

Площа AMNC = AM * CN

Площу прямокутника також можна виразити як добуток довжини BC і довжини BM:

Площа AMNC = BC * BM

З питання ми також знаємо, що площина AMNC дорівнює 24 кв. см. Тобто:

AM * CN = BC * BM = 24

AM = a / 2 BM = a / 2 BC = 8x

Підставимо ці значення в рівняння:

(a / 2) * CN = (8x) * (a / 2) = 24

Спростимо рівняння:

CN = 4x

Тепер ми маємо два пропорційні трикутники: AMN і BCN. Вони подібні за спільною стороною та спільним кутом.

Відомо, що CN = 4x, і вони подібні, тобто:

(CM + MN) / MN = BC / CN

Де MN - довжина MN, яку ми шукаємо, і BC / CN = (8x) / (4x) = 2.

Тепер підставимо відоме значення AMN:

(CM + 24) / 24 = 2

Розгорнемо рівняння:

CM + 24 = 2 * 24

CM + 24 = 48

CM = 48 - 24

CM = 24

Отже, довжина СМ дорівнює 24 см.