Question

В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник із катетом 8 см і гіпотенузою 10 см. Діагональ бічної грані, що містить менший із катетів, утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть площу повної поверхні призми

Answer 1

Ответ:

≈ 249,4 см²

Объяснение:

Задача:

В основе прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом 8 см и гипотенузой 10 см. Диагональ боковой грани, содержащая меньший из катетов, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Дано:

а = 8 cм

c = 10 см

α = 60°

Найти:

S - площадь полной поверхности призмы

Решение:

2-й катет b прямоугольного треугольника находится по теореме Пифагора с² = а² + b². Откуда

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6~(cm)$

Этот катет b < a, и по условию является проекцией диагонали  d боковой грани, содержащей меньший катет b, Поэтому угол между диагональю d и катетом b составляет α = 60°.

Высота призмы h = b · tg α = 6 · tg 60° = 6√3 (см).

Площадь боковой поверхности призмы

S бок = (а + b + с) · h = (8 + 6 + 10) · 6√3 = 144√3 (см²) ≈ 249,4 см²

Площадь оснований призмы

S осн  = 2(0,5 ab) = ab = 8 · 6 = 48 (см²).

Площадь полной поверхности призмы

S полн = S бок + S осн = 249,4 + 48 = 297,4 (см²)

Answer 2

Для знаходження площі повної поверхні прямої призми спочатку розглянемо бічну грань, яка є прямокутним трикутником з катетом 8 см і гіпотенузою 10 см. Знаючи ці сторони, ми можемо знайти інші параметри трикутника.

Використовуючи теорему Піфагора, знайдемо довжину іншого катета: катет^2 + катет^2 = гіпотенуза^2 8^2 + катет^2 = 10^2 64 + катет^2 = 100 катет^2 = 100 - 64 катет^2 = 36 катет = √36 катет = 6 см

Тепер ми знаємо, що обидва катети трикутника дорівнюють 6 см і 8 см, і ми можемо знайти площу цього трикутника: Площа трикутника = (половина добутку катетів) = (1/2) * 6 см * 8 см = 24 кв. см

Тепер ми повинні знайти діагональ бічної грані, яка утворює з площиною основи кут 60°. Діагональ цієї грані є гіпотенузою прямокутного трикутника, де один катет дорівнює половині сторони призми, а інший катет - відомій стороні трикутника (6 см).

Таким чином, довжина гіпотенузи цього трикутника дорівнює: Гіпотенуза = √((половина сторони призми)^2 + (відома сторона трикутника)^2) Гіпотенуза = √((6 см)^2 + (8 см)^2) Гіпотенуза = √(36 + 64) Гіпотенуза = √100 Гіпотенуза = 10 см

Тепер у нас є довжина діагоналі бічної грані, і ми знаємо, що ця діагональ утворює з площиною основи кут 60°. Ми можемо використовувати цю інформацію для знаходження площі бічної грані.

Площа бічної грані = (1/2) * (сторона призми) * (діагональ бічної грані) * sin(кут між бічною гранню і основою)

Площа бічної грані = (1/2) * 8 см * 10 см * sin(60°) Площа бічної грані = 40 см^2 * (√3/2) Площа бічної грані = 20√3 кв. см

Нарешті, знайдемо площу повної поверхні призми, додавши площу двох основ і площу бічної грані: Площа повної поверхні = 2 * (площа основи) + (площа бічної грані) Площа повної поверхні = 2 * (8 см * 8 см) + 20√3 кв. см Площа повної поверхні = 128 см^2 + 20√3 кв. см

Отже, площа повної поверхні прямої призми дорівнює 128 см^2 + 20√3 кв. см.