Question

1 В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 см и 5 см. Найдите периметр треугольника. 2 В равнобедренном треугольнике основание равно 24 см, высота, проведенная к основанию, равна 16 см. Найдите боковую сторону треугольника. 3 Сторона ромба равна 20 см, а одна из диагоналей равна 32 см. Чему равна вторая диагональ ромба? 4 Найдите диагональ квадрата, сторона которого равна 8 см. 5 Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите высоту трапеции. 6 В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АС проведена высота ВD, ВС = 2см, AD = 3см. Найдите DC, BD, АВ.

Answer 1

Ответ:

1) 15 + 5 + √(15² + 5²) = 20 + √230

2) √(12² + 16²) = √400 = 20

3) 2 * √(20² - 16²) = 2 * 2 * 6 = 24

4) √(8² + 8²) = 8√2

5) 2 * √(4 * 25) = 2 * 2 * 5 = 20

6) BC² = (DC + AD) * DC

DC² + 3DC - 4 = 0

DC = 1

BD² = 1 * 3

BD = √3

AB = √(16 - 4)

AB = 2√3

Итого: 1; √3; 2√3

Answer 2

1. Периметр прямоугольного треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон. В данном случае, у вас есть два катета длиной 15 см и 5 см, и гипотенуза.

Периметр (P) = Длина первого катета + Длина второго катета + Длина гипотенузы P = 15 см + 5 см + (гипотенуза)

Используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, где гипотенуза (c) связана с катетами (a и b) следующим образом: c^2 = a^2 + b^2, мы можем найти длину гипотенузы:

c^2 = 15^2 + 5^2 c^2 = 225 + 25 c^2 = 250 c = √250 c ≈ 15.81 см (округлено до двух знаков после запятой)

Теперь мы можем найти периметр:

P = 15 см + 5 см + 15.81 см P ≈ 35.81 см

2. В равнобедренном треугольнике, высота (h) проведенная к основанию, разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника. Вы можете использовать теорему Пифагора для нахождения длины боковой стороны треугольника.

По теореме Пифагора: h^2 = (1/2 * основание)^2 + боковая сторона^2

h^2 = (1/2 * 24 см)^2 + боковая сторона^2 h^2 = 144 см^2 + боковая сторона^2

Теперь, чтобы найти боковую сторону (a), извлеките корень из этого уравнения:

боковая сторона^2 = h^2 - 144 см^2 боковая сторона^2 = 16 см^2 боковая сторона = √16 см^2 боковая сторона = 4 см

Таким образом, боковая сторона треугольника равна 4 см.

3. Для нахождения второй диагонали ромба воспользуйтесь свойством ромба, которое гласит, что диагонали ромба перпендикулярны и делят его друг на друга пополам.

Поскольку одна сторона ромба равна 20 см, а одна из диагоналей равна 32 см, то половина этой диагонали будет равна:

Половина диагонали = 32 см / 2 = 16 см

Таким образом, вторая диагональ ромба также равна 16 см.

4. Диагональ квадрата можно найти, используя теорему Пифагора. Поскольку сторона квадрата равна 8 см, то каждая из его диагоналей будет:

Диагональ = √(сторона^2 + сторона^2) Диагональ = √(8 см^2 + 8 см^2) Диагональ = √(64 см^2 + 64 см^2) Диагональ = √(128 см^2) Диагональ = √(16 * 8 см^2) Диагональ = 4√8 см ≈ 4 * 2.83 см ≈ 11.32 см

5. Для нахождения высоты прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, можно воспользоваться свойствами радиуса окружности и двух касательных, проведенных из точки касания до основания трапеции.

Рассмотрим данную трапецию. Она имеет две параллельные стороны (основание) и две непараллельные боковые стороны. Также, у нас есть две точки касания окружности с боковой стороной: одна отрезка длиной 4 см и вторая длиной 25 см.

Теперь мы можем использовать следующее свойство: при проведении касательной к окружности извне, длина отрезка от точки касания до точки касания с осью симметрии равна радиусу окружности.

Итак, длина первого отрезка (от точки касания до оси симметрии) равна 4 см, что равно радиусу окружности (r).

r = 4 см

Теперь, чтобы найти высоту трапеции (h), мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной первой касательной и радиусом окружности:

h^2 = (1/2 * 25 см)^2 + 4 см^2 h^2 = 12.5 см^2 + 16 см^2 h^2 = 28.5 см^2 h = √28.5 см ≈ 5.34 см

Таким образом, высота трапеции равна приблизительно 5.34 см.

6. В прямоугольном треугольнике ABC используем теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.

a) Найдем длину гипотенузы AC: AC^2 = AB^2 + BC^2 AC^2 = 3^2 + 2^2 AC^2 = 9 + 4 AC^2 = 13 AC = √13 см (приблизительно 3.61 см)

b) Теперь найдем высоту треугольника BD, которая является катетом прямоугольного треугольника BCD: BD = AD = 3 см

c) Найдем длину катета CD: Используем подобие треугольников BCD и ABC: BD / BC = AD / AC 3 см / BC = 3 см / √13 см

Теперь найдем BC: BC = (3 см * √13 см) / 3 см BC = √13 см

d) Найдем AB, используя теорему Пифагора: AB^2 = AC^2 - BC^2 AB^2 = (√13 см)^2 - (√13 см)^2 AB^2 = 13 см^2 - 13 см^2 AB^2 = 0 AB = 0 см

Итак, длина стороны AB равна 0 см, что означает, что сторона AB совпадает с гипотенузой AC, и треугольник ABC является вырожденным треугольником.