Question

• Осъових перерізом конуса є прямокутний трикутник. Знайдіть об'єм конуса, якщо його твірна дорівнює 12√2 см.​

Answer 1

Ответ:

576π см³ или ≈ 1810 см³.

Объяснение:

Осевое сечение конуса представляет собой прямоугольный треугольник с катетами, являющимися образующими L = 12√2см и гипотенузой в виде диаметра D кругового основания конуса.

По теореме Пифагора

D² = L² + L²

откуда

D = L√2 = 12√2 · √2 = 24 (см).

Радиус основания конуса

R = 0.5 D = 0.5 · 24 = 12 (см)

Высота Н конуса - является высотой треугольного  осевого сечения, опущенной на основание D. Поскольку это равнобедренный прямоугольный треугольник, то углы при основании равны по 45°, и

Н = R = L · cos 45 ° = 12√2 · 0.5√2 = 12 см.

Объём конуса вычисляется по формуле

$V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 H = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 12^2 \cdot 12 = 576\pi~(cm^3)\approx 1810~cm^3.$

Answer 2

Для знаходження об'єму конуса потрібно знати його радіус і висоту. Однак в цьому завданні нам дана тільки твірна конуса і факт, що об'ємний переріз конуса є прямокутним трикутником. Нам потрібно використовувати геометричні властивості конуса та прямокутного трикутника, щоб знайти ці значення.

Ми знаємо, що твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника, і вона дорівнює 12√2 см. Задача полягає у знаходженні інших сторін прямокутного трикутника (радіус і висота), щоб знайти об'єм конуса.

Для цього можемо використовувати теорему Піфагора для прямокутного трикутника:

гіпотенуза² = катет₁² + катет₂²,

де гіпотенуза - це твірна конуса, а катети - радіус і висота прямокутного трикутника.

12√2² = радіус² + висота²,

288 = радіус² + висота².

Тепер ми повинні враховувати, що радіус конуса - це половина діагоналі основи прямокутного трикутника, а висота - це інша сторона прямокутного трикутника. Ми можемо використовувати властивості прямокутного трикутника, щоб знайти ці значення.

Знаючи, що гіпотенуза (12√2) і один із катетів (радіус) у нас є, ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб знайти інший катет (висоту):

12√2² = радіус² + висота², 288 = радіус² + висота².

Тепер визначимо радіус і висоту, розв'язавши цю систему рівнянь. Спершу визначимо радіус:

радіус² = 288 - висота².

Тепер підставимо це в друге рівняння:

288 - висота² + висота² = 288.

Скасуємо висоту² з обох боків:

288 = 288.

Це рівняння правильно для будь-якого значення висоти. Тобто, висота може бути будь-якою.

Отже, об'єм конуса буде залежати від висоти, і він буде рівний:

Об'єм конуса = (1/3) * π * радіус² * висота.

Ми вже визначили радіус (288 - висота²), тому об'єм можна виразити як функцію від висоти:

Об'єм конуса = (1/3) * π * (288 - висота²) * висота.

Це формула для обчислення об'єму конуса в залежності від висоти в даному контексті. Тобто об'єм залежить від конкретного значення висоти.