Question

Помогите срочно В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA1 и CC1. Окружность ω, описанная около треугольника ABC, пересекает прямую A1C1 в точках X и Y. Касательные к ω, проведённые в точках X и Y, пересекаются в точке Z. Выберите все гарантированно верные утверждения. 1 - Прямые A1C1 и AC антипараллельны относительно угла ABC 2 - Прямые XZ и BC1 антипараллельны относительно угла BXY 3 - Прямые XZ и BY антипараллельны относительно угла BXY 4 - Точка B является серединой дуги XY 5 - Касательная в точке B к ω параллельна A1C1 6 - Четырёхугольники ZBC1Y и ZBA1X вписаны 7 - Прямые AB и XZ перпендикулярны 8 - Прямые BZ и XY перпендикулярны

Answer 1

Ответ:

1 3 4 5 8

Объяснение:

Два примера антипараллельности:

- Внешний угол вписанного четырехугольника равен противолежащему внутреннему

=> Противоположные стороны вписанного четырехугольника антипараллельны относительно двух других сторон.

- Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой

=> Касательная к описанной окружности треугольника антипараллельна противолежащей стороне относительно двух других сторон.

Всегда верно:

1) Отрезок AC виден из точек A1 и C1 под прямым углом => AC1A1C - вписанный => A1C1 и AC антипараллельны относительно ABC.

3) w - описанная окружность BXY, XZ - касательная к w => XZ антипараллельна BY относительно BXY.

5) Касательная к w в точке B и прямая A1C1 антипараллельны AC относительно ABC, следовательно параллельны между собой.

4) Радиус в точку касания B перпендикулярен касательной, следовательно также перпендикулярен A1C1 т.е. XY.

Перпендикуляр из центра к хорде делит ее и дугу пополам.

8) Отрезки касательных из одной точки равны. Точка Z равноудалена от концов отрезка XY, следовательно лежит на его серединном перпендикуляре, т.е. на прямой OB.

В некоторых случаях:

2) Если XZ и BC1 антипараллельны относительно BXY, то BC1||BY, т.е. они совпадают. Это прямоугольный треугольник.

6) Отрезки касательных из одной точки образуют равные углы с прямой через эту точку и центр окружности. Если ZBC1Y и ZBA1X вписаны, то ∠BC1A1=∠XZB=∠YZB=∠BA1C1. Это равнобедренный треугольник.

7) Не понял, в чем особенность этого положения. Но легко представить контрпример, когда угол ABX=90.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

1 - Прямые A1C1 и AC антипараллельны относительно угла ABC: Это верное утверждение. Высоты в остроугольном треугольнике действительно антипараллельны боковым сторонам относительно соответствующих углов.

2 - Прямые XZ и BC1 антипараллельны относительно угла BXY: Это утверждение не гарантированно верно. Антипараллельность требует, чтобы две прямые находились под разными углами к третьей прямой. В данном случае угол BXY не имеет отношения к углу между XZ и BC1.

3 - Прямые XZ и BY антипараллельны относительно угла BXY: Это тоже утверждение не гарантированно верно. Антипараллельность требует определенного расположения прямых и углов между ними, которое в данном случае не очевидно.

4 - Точка B является серединой дуги XY: Это утверждение не обязательно верно. Точка B может быть серединой дуги XY, но она также может находиться в другом положении на этой дуге, в зависимости от конкретной конфигурации треугольника ABC и окружности ω.

5 - Касательная в точке B к ω параллельна A1C1: Это верное утверждение. В точке касания окружности и касательной угол между касательной и радиусом равен 90 градусов, поэтому касательная к ω в точке B будет параллельна A1C1.

6 - Четырёхугольники ZBC1Y и ZBA1X вписаны: Это утверждение не обязательно верно. Для того чтобы четырёхугольник был вписанным, его вершины должны лежать на окружности. По информации, предоставленной в вопросе, нет уверенности, что это так.

7 - Прямые AB и XZ перпендикулярны: Это утверждение не гарантированно верно. Возможно, что AB и XZ перпендикулярны, но это зависит от конкретных углов и длин сторон треугольника ABC, которые не указаны в вопросе.

8 - Прямые BZ и XY перпендикулярны: Это верное утверждение. Так как Z - точка пересечения касательных к окружности, а XY - диаметр окружности (проходящий через центр), то прямые BZ и XY будут перпендикулярными.

Итак, верные утверждения: 1, 5 и 8.