Question

Ортогональною проекцією прямокутника, сторони якого 8 см і 9 см, є чотирикутник, площа якого дорівнює 36 см2. Обчисліть кут між площинами цих чотирикутників. Чи може дана проекція бути квадратом ?

Answer 1

Объяснение:

Позначимо сторони прямокутника як a = 8 см і b = 9 см. Нехай ABCD - це прямокутник, а EFGH - його ортогональна проекція. Нам потрібно знайти кут між площинами прямокутника і його проекції.

Оскільки площа чотирикутника EFGH дорівнює 36 см2, ми знаємо, що площа прямокутника ABCD дорівнює 8*9=72 см2.

Розглянемо трикутник ECF, який є прямокутним, оскільки EC - перпендикуляр до площини ABCD, а EF - перпендикуляр до площини, яку проходить через CD і паралельна BC. З іншого боку, CF - перпендикуляр до площини, яку проходить через AB і паралельна BC. Тому кут ECF є кутом між площинами ABCD і EFGH.

Знайдемо довжину сторони EF чотирикутника EFGH. Оскільки EFGH - проекція прямокутника ABCD на площину EFGH, сторона EF дорівнює довжині відрізка, який з'єднує середини сторін AB і CD прямокутника ABCD. Оскільки AB і CD перпендикулярні, то середини цих сторін також перетинаються перпендикулярно. Тому EF ділить прямокутник ABCD на дві однакові частини. Отже, EF дорівнює половині діагоналі прямокутника ABCD.

За теоремою Піфагора, діагональ прямокутника ABCD дорівнює √(8^2 + 9^2) = √145 см, тому половина діагоналі дорівнює (1/2)√145 см. Таким чином, сторона EF чотирикутника EFGH дорівнює (1/2)√145 см.

Тепер ми можемо знайти косинус кута ECF, використовуючи відношення катета до гіпотенузи в трикутнику ECF:

cos(ECF) = CF/EF = 9/((1/2)√145) = (18/√145)

Answer 2

Для початку розглянемо, як обчислити кут між площинами чотирикутників. Кут між двома площинами можна обчислити, використовуючи вектори нормалей цих площин і використовуючи скалярний добуток.

Нехай нормаль до першої площини буде вектором A, а нормаль до другої площини - вектором B. Тоді кут між цими площинами дорівнює:

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)

де A · B - скалярний добуток векторів A і B, |A| - довжина вектора A, |B| - довжина вектора B, θ - кут між площинами.

Для нашої задачі спростимо її. Оскільки обидві площини ортогональні одна до одної, їх нормалі перпендикулярні. Таким чином, cos(θ) = 0, і отже, кут між площинами дорівнює 90 градусів.

Щодо питання, чи може дана проекція бути квадратом, то відповідь така: така проекція не може бути квадратом. Прямокутник може мати ортогональну проекцію у вигляді квадрата лише тоді, коли його сторони рівні. У вашому випадку сторони прямокутника 8 см і 9 см не рівні, тому проекція не може бути квадратом.