Question

Через вершину С квадрата АВСD проведено пряму МС, яка перпендикулярна до площини квадрата. Доведіть, що площини АМС і АВС перпендикулярні. Малюнок обов'язково ​

Answer 1

Ответ:скільки пряма МС перпендикулярна до площини квадрата АВСD, то вектор, що її напрямлений, лежить в цій площині. Нехай цей вектор має напрямок від вершини С до точки М. Тоді вектор СМ лежить в площині АВС, оскільки лежить в площині, що проходить через С та паралельна АВСD. З іншого боку, вектор АС лежить в площині АВС, оскільки є однією з її сторін. Тоді вектори АС та СМ лежать в одній площині АВС, що означає, що площини АМС та АВС мають спільну пряму АС та лежать вздовж двох взаємно перпендикулярних векторів АС та СМ. Отже, вони перпендикулярні між собою.

Объяснение:

Answer 2

На жаль, я не можу надати зображення, оскільки моя можливість створення малюнків обмежена текстовими описами. Але я можу надати текстовий опис розв'язку цієї задачі.

Для доведення, що площини AMS і ABC перпендикулярні, нам потрібно показати, що їхні вектори нормалі (вектори, які перпендикулярні до площин) також перпендикулярні один до одного.

Позначимо точки:

• A, B, C, D - вершини квадрата ABCD,
• M - точка на прямій MS, яка перпендикулярна до площини квадрата.

Почнемо з вектора нормалі для площини ABC. Площина ABC може бути визначена за допомогою векторного добутку векторів AB і AC. Вектори AB і AC мають такі напрямки:

AB = B - A AC = C - A

Тепер ми можемо знайти вектор нормалі до площини ABC, використовуючи векторний добуток:

N_ABC = AB x AC

Тепер перейдемо до вектора нормалі для площини AMS. Оскільки пряма MS перпендикулярна до площини квадрата, вектор нормалі до площини AMS буде вектором MS. Таким чином:

N_AMS = M - S

Тепер нам потрібно показати, що вектори N_ABC і N_AMS є перпендикулярними. Це можна зробити, розглядаючи їхні скалярні добутки. Якщо скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю, то це означає, що вони перпендикулярні:

N_ABC * N_AMS = 0

Покажемо це:

(N_ABC * N_AMS) = (AB x AC) * (M - S)

Ми знаємо, що AB і AC є векторами, які лежать в площині ABC, і MS - вектор, який перпендикулярний до цієї площини. Тому їхні скалярні добутки будуть нульовими:

(AB x AC) * (M - S) = 0

Отже, ми показали, що скалярний добуток векторів нормалі до площин ABC і AMS дорівнює нулю, що означає, що ці площини є перпендикулярними одна до одної.