Question

5 До кола в центром у точці О з точки А поза колом проведено дві дотичні АВ І АС (точки ВiС точки дотику). 1) Відрізок, що з'єднує точки дотику, ділить відрізок АО на впіл. Знайдіть кут ВАС. ПОМОГИТЕ ДАЮ 100 балов

Answer 1

Ответ:

Оскільки дотичні до кола є перпендикулярними до відрізка, що з'єднує центр кола і точку дотику, то відрізок, що з'єднує точки дотику, буде серединним перпендикуляром до відрізка АО. Отже, він ділить відрізок АО навпіл.

Таким чином, АВ = АС = АО / 2.

Трикутник АВС є рівнобедреним, оскільки він містить дві рівні сторони АВ та АС, тому кути АВС та АСВ також рівні між собою.

Крім того, так як дотичні до кола є перпендикулярними до відрізка, що з'єднує центр кола і точку дотику, кути ABV та ACV є прямими кутами.

Отже, ми маємо трикутник АВС з кутом АВС = АСВ = 90 градусів та АВ = АС = АО / 2.

Застосуємо теорему косинусів для трикутника АВС:

cos ВАС = (AB² + AC² - BC²) / (2AB * AC),

де BC - відрізок, що з'єднує точки дотику дотику на колу. Оскільки відрізок, що з'єднує точки дотику, є серединним перпендикуляром до відрізка АО, то BC дорівнює ОС.

Так як ОС є радіусом кола, а АО - діаметром, то ОС = АО / 2. Отже, BC = ОС = АО / 2.

Підставляємо відомі значення:

cos ВАС = (AB² + AC² - BC²) / (2AB * AC) = (АО²/4 + АО²/4 - АО²/4) / (2 * АО²/4) = 1/2.

Отже, кут ВАС дорівнює 60 градусів (так як cos 60 градусів = 1/2).

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам знадобиться декілька геометричних фактів.

1. Кут між дотичною і радіусом кола, проведеним до точки дотику, завжди дорівнює 90 градусів. Це випливає з властивостей кола.

2. Також, оскільки відрізок ВС є дотичною до кола, то кут ВСО теж дорівнює 90 градусів.

3. Оскільки відрізок ВС є дотичною із точкою дотику А до кола, то трикутник ВАО є прямокутним.

4. Згідно з умовою задачі, відрізок, який з'єднує точку дотику А з точкою центра кола О, ділить відрізок АО пополам. Тобто, ОА = АВ = АС.

Тепер ми можемо знайти кут ВАС, використовуючи трикутник ВАО:

У трикутнику ВАО ми маємо прямий кут при В (кут ВАО = 90 градусів, оскільки відрізок ВС є дотичною до кола), і ми знаємо, що ОА = АВ = АС, тобто, ВО = ОА.

Таким чином, трикутник ВАО є рівнобедреним прямокутним трикутником, де дві сторони (ОА і ОВ) рівні. У такому трикутнику кути при рівних сторонах теж рівні.

Отже, кут ВАО дорівнює куту ВОА. Так як сума кутів в трикутнику дорівнює 180 градусів, то

ВАО + ВОА + АОВ = 180 градусів.

Оскільки ВАО і ВОА однакові, ми можемо позначити їх через x:

x + x + 90 = 180.

Тепер розв'яжемо це рівняння:

2x + 90 = 180,

2x = 180 - 90,

2x = 90,

x = 45.

Отже, кут ВАО (який дорівнює куту ВОА) дорівнює 45 градусів. Таким чином, кут ВАС також дорівнює 45 градусів.

Отже, кут ВАС дорівнює 45 градусів.