Question

Доведіть , що рівняння є рівнянням кола , і вкажіть координати та радіус цього кола . 1)х²+у²+6х-2у-10=02)х²+у²-12х-36=0Будьласка з поясненням

Answer 1

Ответ:

Для того чтобы показать, что уравнение является уравнением окружности, мы должны привести его к стандартному виду уравнения окружности:

1) x² + y² + 6x - 2y - 10 = 0

Перепишем уравнение, сгруппировав по переменным:

x² + 6x + y² - 2y = 10

Теперь дополним уравнение, добавив недостающие квадратные члены, чтобы завершить квадратное уравнение:

x² + 6x + 9 + y² - 2y + 1 = 10 + 9 + 1

Теперь у нас есть уравнение окружности в стандартной форме:

(x + 3)² + (y - 1)² = 20

Координаты центра окружности: (-3, 1)

Радиус окружности: √20

2) x² + y² - 12x - 36 = 0

Аналогично, группируем по переменным:

x² - 12x + y² = 36

Дополняем до квадратного уравнения:

x² - 12x + 36 + y² = 36 + 36

Теперь у нас есть уравнение окружности в стандартной форме:

(x - 6)² + y² = 72

Координаты центра окружности: (6, 0)

Радиус окружности: √72 (или 6√2)

Answer 2

Для того чтобы определить, является ли данное уравнение уравнением окружности и найти его координаты и радиус, мы должны преобразовать его в стандартную форму уравнения окружности:

Стандартная форма уравнения окружности имеет следующий вид:

(x - h)² + (y - k)² = r²,

где (h, k) - это координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Давайте рассмотрим оба уравнения:

1. х² + у² + 6х - 2у - 10 = 0:

Сначала перенесем константу -10 на правую сторону:

х² + у² + 6х - 2у = 10.

Теперь давайте завершим квадратное выражение для x и y:

Для x: добавляем квадрат половины коэффициента при x и затем вычитаем его. Половина коэффициента при x равна 6/2 = 3, поэтому:

х² + 6х + (3²) - 2у = 10 + 3²,

х² + 6х + 9 - 2у = 19.

Теперь сделаем то же самое для y: добавим квадрат половины коэффициента при y и затем вычтем его. Половина коэффициента при y равна -2/2 = -1, поэтому:

х² + 6х + 9 - 2у - 1 + (1²) = 19 + 1,

х² + 6х + 9 - 2у - 1 + 1 = 20,

х² + 6х + 9 - 2у = 20.

Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме:

(x + 3)² + (y - 1)² = 20.

Из этого уравнения видно, что центр окружности находится в точке (-3, 1), а радиус окружности равен корню из числа 20:

r = √20 = 2√5.

Таким образом, уравнение (1) представляет собой уравнение окружности с центром в точке (-3, 1) и радиусом 2√5.

2. х² + у² - 12х - 36 = 0:

Сначала переносим константу -36 на правую сторону:

х² + у² - 12х = 36.

Теперь завершим квадратное выражение для x и y:

Для x: половина коэффициента при x равна -12/2 = -6, поэтому:

х² - 12х + (-6²) = 36 + (-6²),

х² - 12х + 36 = 36 - 36,

х² - 12х + 36 = 0.

Теперь сделаем то же самое для y: половина коэффициента при y равна 0 (поскольку у нас нет члена с у), поэтому:

у² + 0 - 0 = 0.

У нас есть уравнение:

х² - 12х + 36 = 0,

у² = 0.

Обратите внимание, что уравнение для y всегда равно 0, что означает, что y не влияет на форму окружности, и окружность находится на оси x.

Уравнение для x - это уравнение окружности с центром в точке (6, 0) и радиусом r = √36 = 6.

Таким образом, уравнение (2) представляет собой уравнение окружности с центром в точке (6, 0) и радиусом 6.