Question

СРОЧНО 20Б Дан прямоугольник ABCD. Точки M и N принадлежат стороне BC и делят ее на 3 равные части. Точка K является серединой AD. Отрезки MK и NK пересекаются с диагональю BD в точках P и Q. Найдите площадь треугольника PQK, если площадь прямоугольника ABCD 70 см²

Answer 1

Пппппппппппппппппппп

Answer 2

Для нахождения площади треугольника PQK, нам сначала нужно найти координаты точек P и Q, а затем применить формулу для площади треугольника.

Давайте обозначим координаты точки B как (0, 0) и точку D как (a, b), где a и b - длины сторон прямоугольника ABCD. Точка M делит сторону BC на три равные части, поэтому координаты точки M будут (0, b/3), а точка N будет иметь координаты (0, 2b/3).

Точка K является серединой стороны AD, поэтому ее координаты будут ((a/2), 0).

Теперь мы можем найти уравнение прямой MK и NK. Уравнение прямой MK будет иметь вид:

y = (b/3) / (0 - a/2) * x + (b/3)

Упростим это уравнение:

y = (-2b/a) * x + (b/3)

Уравнение прямой NK будет аналогичным:

y = (-b/a) * x + (2b/3)

Теперь мы можем найти точку пересечения прямых MK и NK, которая будет точкой P. Для этого приравняем уравнения:

(-2b/a) * x + (b/3) = (-b/a) * x + (2b/3)

(-2b/a) * x + (b/3) + (b/a) * x - (2b/3) = 0

(-2b/a) * x + (b/3) + (b/a) * x = (2b/3)

x * ((-2b/a) + (b/a)) = (2b/3) - (b/3)

x * ((-b/a)) = (b/3)

x = -(a/b) * (b/3)

x = -a/3

Теперь, когда мы нашли x-координату точки P, мы можем найти ее y-координату, подставив x в уравнение MK:

y = (-2b/a) * x + (b/3)

y = (-2b/a) * (-a/3) + (b/3)

y = (2/3) * b + (b/3)

y = b

Итак, координаты точки P равны (-a/3, b).

Точно так же можно найти координаты точки Q, которая будет точкой пересечения прямых NK и BD. Поскольку BD проходит через точку (0, 0) и (a, b), уравнение BD будет:

y = (b/a) * x

Точка Q будет точкой пересечения NK и BD, поэтому:

(-b/a) * x + (2b/3) = (b/a) * x

(-b/a) * x - (b/a) * x + (2b/3) = 0

(2b/3) = 0

Это уравнение не имеет решения, поэтому прямые NK и BD параллельны, и точка Q находится в бесконечности.

Теперь мы знаем координаты точек P и K:

P (-a/3, b) K (a/2, 0)

Чтобы найти площадь треугольника PQK, мы можем использовать формулу для площади треугольника, основанного на координатах:

Площадь треугольника = 1/2 * |(x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2))|

Подставляем значения:

Площадь треугольника PQK = 1/2 * |(-a/3 * (0 - b) + (a/2 * (b - 0) + 0 * (b - (-b))))|

Площадь треугольника PQK = 1/2 * |(ab/3 + ab/2)|

Площадь треугольника PQK = 1/2 * |(5ab/6)|

Теперь мы можем найти численное значение площади, зная, что площадь прямоугольника ABCD равна 70 см²:

70 = 5ab/6

Умножаем обе стороны на 6:

6 * 70 = 5ab

420 = 5ab

Делим обе стороны на 5:

ab = 420 / 5

ab = 84

Теперь мы можем найти площадь треугольника PQK:

Площадь треугольника PQK = 1/2 * |(5ab/6)|

Площадь треугольника PQK = 1/2 * |(5 * 84 / 6)|

Площадь треугольника PQK = 1/2 * |(420 / 6)|

Площадь треугольника PQK = 1/2 * |70|

Площадь треугольника PQK = 35 см²

Итак, площадь треугольника PQK равна 35 см².