Question

В треугольнике abc угол b =90 градусов, ab =3, внешний угол при вершине A равен 120 градусов. Найдите гипотенузу треугольника abc.

Answer 1

Поскольку внешний угол при вершине А равен 120 градусов, то сам угол А равен 60 градусов.
Это значит, что угол С равен 90 - 60, то есть 30 градусов. Поскольку косинус 60 градусов равен 1/2, то гипотенуза равна 6, поскольку здесь выходит пропорция: 1/2 = 3/x , где x - длина гипотенузы, откуда x = 2 * 3 = 6

Answer 2

Для нахождения гипотенузы треугольника ABC, мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть прямой угол (угол B равен 90 градусов). Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (самой длинной стороны) равен сумме квадратов длин катетов (двух коротких сторон, в данном случае, AB и AC):

c^2 = a^2 + b^2

Где: c - длина гипотенузы (CB в данном случае). a - длина катета (AB). b - длина другого катета (AC).

Известно, что AB = 3 (это один из катетов), а также у нас есть внешний угол при вершине A, который равен 120 градусам. Внешний угол при вершине A равен сумме углов при вершинах B и C:

120 градусов = угол B + угол C

Так как угол B равен 90 градусам, то:

120 градусов = 90 градусов + угол C

Угол C равен разнице между 120 градусами и 90 градусами:

угол C = 120 градусов - 90 градусов = 30 градусов

Теперь у нас есть значение угла C (30 градусов) и значение одного из катетов (AB = 3). Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти длину другого катета AC:

cos(C) = a / c

где cos(C) - косинус угла C, a - длина катета AB, c - длина гипотенузы CB.

Подставляя известные значения:

cos(30 градусов) = 3 / c

cos(30 градусов) равен √3/2, поэтому:

√3/2 = 3 / c

Теперь мы можем решить уравнение относительно c:

c = 3 / (√3/2) = (3 * 2) / √3 = 6 / √3 = (6 / √3) * (√3 / √3) = (6√3) / 3 = 2√3

Итак, длина гипотенузы треугольника ABC равна 2√3 единицам.