Question

Докажите, что биссектрисы острых острых углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом 45 градусов.

Answer 1

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, угол C - прямой. Из вершин A и B проведены биссектрисы пересекающиеся в точке О. Биссектриса из A пересекает сторону BC в точке N, биссектриса из B сторону AC в точке M.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. Значит, сумма углов, образованных биссектрисами, равна 90:2 = 45 градусов. Тогда в треугольнике AOB угол O равен 180-45 = 135 градусов. Углы BON и AOM равны 180-135 = 45 градусов, как смежные.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым углом. Будем обозначать углы этого треугольника как A, B и C, а его стороны как a, b и c. Пусть BD и CE - биссектрисы углов B и C соответственно. Мы хотим доказать, что они пересекаются под углом 45 градусов.

1. Рассмотрим биссектрису угла B. Она делит угол B пополам, поэтому угол DBC равен углу DBC. Таким образом, угол DBC равен половине угла B.

2. Также рассмотрим биссектрису угла C. Она делит угол C пополам, поэтому угол ECB равен углу ECC. Таким образом, угол ECB равен половине угла C.

3. Треугольник BDC и треугольник CEC равны по построению (общая сторона BD = CE, BD - биссектриса угла B, CE - биссектриса угла C, углы DBC и ECB равны по предыдущим пунктам, и угол BDC = угол CEC = 90 градусов, так как это прямоугольный треугольник).

4. Из равенства треугольников BDC и CEC следует, что их гипотенузы также равны, то есть BC = BC.

5. Теперь рассмотрим треугольник BCB. Он является равнобедренным, так как BC = BC (это одна и та же сторона), и угол B равен углу B (это прямой угол).

6. В равнобедренном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведенной к основанию, равен 45 градусов. Таким образом, угол DBC (угол между биссектрисой угла B и медианой к основанию BC) равен 45 градусов.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом 45 градусов.