Question

Знайдіть об'єм конуса, якщо кут між його твірною і висотою дорівнює альфа, а середина твірної віддалена від осі на відстань а.

Answer 1

Рассмотрим прямоугольный ΔОSB, в котором катет SО (высота конуса), катет ОВ (радиус основания конуса), гипотенуза SВ (образующая конуса).
По условию угол между образующей  и высотой равняется α, т.е. <OSB=α.
Середина образующей (точка С) удалена от оси ОS на расстояние а, это значит АС=а, SС=СВ и АС перпендикулярно SО и параллельно ОВ.
Исходя из т.Фалеса (если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и  на другой стороне)  SА=АО, а это значит, что АС является средней линией ΔОSВ (она соединяет середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине), тогда ОВ=2АС=2a.
SB=OB/sin α=2a/sin α
SO= SB*cos α=2a*cos α/sin α=2а*сtg α
Объем конуса V= π*R²*H/3=π*ОВ²*SO/3=π*4a²*2a*ctg α/3=8a³*ctg α/3

Answer 2

Для знаходження об'єму конуса з відомим кутом між твірною і висотою, а також відомою відстанню від середини твірної до осі, можна скористатися формулою для об'єму конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h,

де: V - об'єм конуса, π - число пі (приблизно 3.14159), r - радіус основи конуса, h - висота конуса.

У нашому випадку, ми маємо такі відомі дані:

1. Кут між твірною і висотою конуса дорівнює α.
2. Відстань від середини твірної до осі дорівнює а.

Поступово розглянемо ці дані та знайдемо вирази для радіусу основи і висоти конуса.

1. Кут між твірною і висотою дорівнює α. Це означає, що ми маємо правий трикутник з гіпотенузою (твірною) і відомим кутом α. Ми можемо використовувати тригонометричні функції для знаходження відношення між сторонами цього трикутника:

sin(α) = (r / a).

Отже, r = a * sin(α).

2. Відстань від середини твірної до осі дорівнює а. Це є радіусом основи конуса, оскільки ця відстань є відстанню від центру основи до точки, де розташована середина твірної. Таким чином, r = a.

Тепер, коли ми знайшли значення радіусу r, ми можемо знайти висоту конуса (h):

За допомогою теореми Піфагора для правильного трикутника з гіпотенузою a і однією стороною r (стороною, яка є відстанню від середини твірної до осі), знайдемо висоту h:

a^2 = r^2 + h^2,

a^2 = (a)^2 + h^2,

0 = a^2 - a^2 + h^2,

h^2 = a^2,

h = a.

Тепер ми маємо значення радіусу (r = a) і висоти (h = a), і ми можемо обчислити об'єм конуса:

V = (1/3) * π * (a^2) * a,

V = (1/3) * π * a^3.

Отже, об'єм конуса дорівнює (1/3) * π * a^3.