Question

Докажите, что если в равносторонней трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то ее высота равна средней линии. Заранее спасибо.

Answer 1

Интересная задача
дополнительное построение надо сделать, а его сложно увидеть

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Пусть у нас есть равносторонняя трапеция ABCD, в которой AB || CD, AB = CD, и диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Пусть M и N - точки пересечения диагоналей AC и BD соответственно.

Для начала, заметим, что так как трапеция равносторонняя, то углы при вершине A и угол при вершине B также взаимно перпендикулярны. Это можно показать следующим образом:

1. Рассмотрим треугольник AMC. Так как AM = MC (так как это равносторонняя трапеция), и AM ⊥ MC (по условию), то треугольник AMC - прямоугольный.
2. Аналогично, рассмотрим треугольник BMD. Так как BM = MD и BM ⊥ MD, треугольник BMD также будет прямоугольным.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника, AMC и BMD.

Теперь обратим внимание на то, что диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, а значит, угол AMC будет прямым. Из этого следует, что угол BMD также будет прямым, так как они дополняют друг друга до 180 градусов.

Таким образом, мы получили, что у нас есть два прямоугольных треугольника, у которых один из углов прямой. Это означает, что треугольники AMC и BMD подобны (по признаку общего угла), а значит, их соответственные стороны пропорциональны.

Поскольку AM = MC и BM = MD, мы имеем пропорциональность:

AM / BM = MC / MD

Теперь обратим внимание на то, что AM + MC = AC (по построению) и BM + MD = BD (по построению). Так как AM = MC и BM = MD, это означает, что:

AM + AM = AC BM + BM = BD

Сокращая на 2:

AM = AC / 2 BM = BD / 2

Теперь мы видим, что AM и BM - это половины соответствующих диагоналей. Но заметим также, что средняя линия трапеции также является половиной суммы оснований AB и CD:

Средняя линия = (AB + CD) / 2

Из условия равенства оснований (AB = CD) следует:

Средняя линия = 2 * AB / 2 = AB

Таким образом, мы видим, что AM = BM = Средняя линия.

Это завершает наше доказательство. Мы показали, что в равносторонней трапеции, где диагонали взаимно перпендикулярны, её высота равна средней линии.