Question

Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны прямоугольника на 8 см меньше чем эта сторона найти площадь прямоугольника если периметр равен 88 см

Answer 1

На фото ответ с решением.

Answer 2

Пусть прямоугольник имеет длину $a$ и ширину $b$. Тогда по условию задачи у нас есть следующая информация:

1. Периметр прямоугольника: $2a + 2b = 88$ (дано).

2. Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны прямоугольника: $a - 8$ (дано).

Мы также знаем, что диагонали прямоугольника делят его на четыре равных треугольника. Поэтому расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны прямоугольника равно половине длины диагонали:

$\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = a - 8.$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $b$:

$a^2 + b^2 = 4(a - 8)^2.$

Раскроем квадрат справа:

$a^2 + b^2 = 4(a^2 - 16a + 64).$

Упростим:

$a^2 + b^2 = 4a^2 - 64a + 256.$

Теперь выразим $b^2$ через $a$:

$b^2 = 3a^2 - 64a + 256. \quad (1)$

Теперь используем информацию о периметре:

$2a + 2b = 88.$

Разделим обе стороны на 2:

$a + b = 44. \quad (2)$

Теперь можем выразить $b$ через $a$ из уравнения (2):

$b = 44 - a. \quad (3)$

Подставим выражение для $b$ из уравнения (3) в уравнение (1):

$3a^2 - 64a + 256 = a^2 + (44 - a)^2.$

Раскроем квадрат справа:

$3a^2 - 64a + 256 = a^2 + 1936 - 88a + a^2.$

Упростим:

$3a^2 - 64a + 256 = 2a^2 - 88a + 1936.$

Выразим $a^2$ через $a$:

$a^2 = 64a - 1680.$

Теперь подставим это выражение для $a^2$ обратно в уравнение (2):

$a + b = 44 \implies a + (44 - a) = 44.$

Упростим:

$44 = 44,$

что верно. Это означает, что наше предположение $b = 44 - a$ было верным.

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника:

$S = a \cdot b = a \cdot (44 - a).$

Раскроем скобки:

$S = 44a - a^2.$

Из выражения для $a^2$ (из предыдущих шагов) мы имеем:

$a^2 = 64a - 1680.$

Подставим это выражение для $a^2$ обратно в выражение для площади $S$:

$S = 44a - (64a - 1680) = 1680 - 20a.$

Теперь мы можем использовать уравнение (2) для нахождения значения $a$:

$a + b = 44 \implies a + (44 - a) = 44 \implies 44 = 44,$

что верно.

Значит, $a = 22$, и, следовательно, $b = 44 - a = 22$.

Теперь мы можем вычислить площадь прямоугольника:

$S = 1680 - 20a = 1680 - 20 \cdot 22 = 1680 - 440 = 1240 \, \text{см}^2.$

Итак, площадь прямоугольника равна $1240 \, \text{см}^2$.