Question

Вершины треугольника А(1,3) В(-1,1) С(2,2) найти координаты центра описанной около него окружности

Answer 1

РАСЧЕТ ТРЕУГОЛЬНИКАзаданного координатами вершин: Вершина 1: A(1; 3) Вершина 2: B(-1; 1) Вершина 3: C(2; 2) ДЛИНЫ СТОРОН ТРЕУГОЛЬНИКА  АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √8 ≈ 2,828427125.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √10 ≈ 3,16227766.
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √2 ≈ 1,414213562.
Как видим, сумма квадратов сторон АВ и АС равна квадрату стороны ВС.
 Поэтому треугольник прямоугольный.
Центр описанной окружности находится на середине гипотенузы.
То есть, координаты центра равны полусумме координат точек В и С:
Оопис = (((-1)+2)/2=0,5; (1+2)/2=1,5) = (0,5; 1,5).
Дальнейший расчёт подтверждает это.

ПЕРИМЕТР ТРЕУГОЛЬНИКА Периметр = 7,40491834728766 ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА Площадь = 2 УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА Угол BAC при 1 вершине A:   в радианах = 1,5707963267949   в градусах = 90 Угол ABC при 2 вершине B:   в радианах = 0,463647609000806   в градусах = 26,565051177078 Угол BCA при 3 вершине C:   в радианах = 1,10714871779409   в градусах = 63,434948822922 ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Центр Ci(1; 2,23606797749979) Радиус = 0,540181513475453 ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Центр Co(0,5; 1,5) Радиус = 1,58113883008419

Answer 2

Для того чтобы найти координаты центра описанной окружности треугольника, мы должны использовать свойство описанной окружности, которое гласит, что центр окружности лежит на перпендикулярных биссектрисах сторон треугольника.

Для начала, найдем середины сторон треугольника:

Середина AB: x_AB = (x_A + x_B) / 2 = (1 + (-1)) / 2 = 0 / 2 = 0 y_AB = (y_A + y_B) / 2 = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2

Середина BC: x_BC = (x_B + x_C) / 2 = (-1 + 2) / 2 = 1 / 2 = 0.5 y_BC = (y_B + y_C) / 2 = (1 + 2) / 2 = 3 / 2 = 1.5

Середина AC: x_AC = (x_A + x_C) / 2 = (1 + 2) / 2 = 3 / 2 = 1.5 y_AC = (y_A + y_C) / 2 = (3 + 2) / 2 = 5 / 2 = 2.5

Теперь найдем уравнения прямых, проходящих через середины сторон треугольника и перпендикулярных этим сторонам.

Для стороны AB: Коэффициент наклона: m_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (1 - 3) / (-1 - 1) = -2 / -2 = 1 Коэффициент перпендикулярной прямой: m_perp_AB = -1 / m_AB = -1 / 1 = -1

Уравнение прямой, проходящей через середину AB: y - y_AB = m_perp_AB * (x - x_AB) y - 2 = -1 * (x - 0) y = -x + 2

Для стороны BC: Коэффициент наклона: m_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (2 - 1) / (2 - (-1)) = 1 / 3 Коэффициент перпендикулярной прямой: m_perp_BC = -1 / m_BC = -1 / (1 / 3) = -3

Уравнение прямой, проходящей через середину BC: y - y_BC = m_perp_BC * (x - x_BC) y - 1.5 = -3 * (x - 0.5) y = -3x + 2

Для стороны AC: Коэффициент наклона: m_AC = (y_C - y_A) / (x_C - x_A) = (2 - 3) / (2 - 1) = -1 Коэффициент перпендикулярной прямой: m_perp_AC = -1 / m_AC = -1 / (-1) = 1

Уравнение прямой, проходящей через середину AC: y - y_AC = m_perp_AC * (x - x_AC) y - 2.5 = 1 * (x - 1.5) y = x + 1

Теперь найдем точку пересечения двух перпендикулярных биссектрис - это и будет центр описанной окружности треугольника.

Система уравнений перпендикулярных биссектрис:

1. y = -x + 2
2. y = -3x + 2

Приравняем их: -x + 2 = -3x + 2

Теперь решим уравнение: 2x = 0 x = 0

Подставим значение x в одно из уравнений для перпендикулярной биссектрисы: y = -x + 2 y = -0 + 2 y = 2

Таким образом, координаты центра описанной окружности треугольника ABC равны (0, 2).