Question

Две плоскости, параллельные основанию конуса, делят его высоту на три равные части. Объём средней части конуса равен 49. Найдите объём всего конуса

Answer 1

Смотри ответ во вложении

Answer 2

Пусть $V$ - объем всего конуса, $V_1$ - объем верхней части конуса, $V_2$ - объем средней части конуса, $V_3$ - объем нижней части конуса. Так как две плоскости делят высоту на три равные части, объем средней части равен объему верхней и нижней частей. Мы знаем, что $V_2 = 49$.

Так как объем конуса равен $\frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \text{высота}$, то для верхней и нижней частей можно записать следующие уравнения:

$V_1 = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \frac{\text{высота}}{3}$

$V_3 = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \frac{\text{высота}}{3}$

Так как площадь основания конуса не меняется, $V_1$ и $V_3$ будут иметь одинаковое значение, равное $\frac{1}{9}$ от объема всего конуса.

$V_1 = V_3 = \frac{1}{9} \times V$

Теперь мы можем записать уравнение для объема всего конуса:

$V = V_1 + V_2 + V_3$

Подставим значения:

$V = \frac{1}{9} \times V + 49 + \frac{1}{9} \times V$

Упростим уравнение:

$V = \frac{2}{9} \times V + 49$

Теперь выразим $V$:

$V - \frac{2}{9} \times V = 49$

$\frac{7}{9} \times V = 49$

$V = \frac{9}{7} \times 49$

$V = 9 \times 7$

$V = 63$

Таким образом, объем всего конуса равен 63.