Question

В треугольнике АВС угол С прямой, cosB=2/3, ВС=2. Найдите АВ, АС и площадь треугольника

Answer 1

.............................

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся три важных факта:

1. В прямоугольном треугольнике со сторонами a, b и гипотенузой c справедливо соотношение cos(B) = b / c.

2. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c^2 = a^2 + b^2.

3. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: площадь = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)), где s - полупериметр треугольника, равный (a + b + c) / 2.

Итак, давайте решим задачу:

Пусть AB = a, AC = c, и BC = b = 2.

У нас также есть cos(B) = 2/3, но нам нужно найти cos(C).

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому: A + B + C = 180°.

Так как угол C прямой (90°), то A + B + 90° = 180°, откуда A + B = 90°.

Теперь используем формулу косинуса для угла B:

cos(B) = b / c, тогда 2/3 = 2 / c.

Отсюда находим значение c: c = 2 / (2/3) = 3.

Теперь мы можем найти угол A:

sin^2(A) + cos^2(A) = 1, следовательно, sin^2(A) = 1 - cos^2(A).

sin(A) = sqrt(1 - cos^2(A)) = sqrt(1 - (2/3)^2) = sqrt(1 - 4/9) = sqrt(5/9).

Теперь найдем синус угла A и используем его для вычисления значения угла A:

sin(A) = sqrt(5/9) = sqrt(5) / 3.

Угол A = arcsin(sqrt(5) / 3) ≈ 48.19°.

Используя сумму углов треугольника, найдем угол C:

C = 180° - (A + B) = 180° - (48.19° + 90°) ≈ 41.81°.

Теперь у нас есть длины сторон AB, AC и BC:

AB = a, AC = c, и BC = b = 2.

AB = a = BC * tan(A) = 2 * tan(48.19°) ≈ 2 * 1.12 ≈ 2.24.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

s = (a + b + c) / 2 = (2.24 + 2 + 3) / 2 = 7.24 / 2 ≈ 3.62.

Площадь треугольника = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) = sqrt(3.62 * (3.62 - 2.24) * (3.62 - 2) * (3.62 - 3)) ≈ sqrt(3.62 * 1.38 * 1.62 * 0.62) ≈ sqrt(4.49334) ≈ 2.12.

Итак, ответ: AB ≈ 2.24, AC = BC = 2, Площадь треугольника ≈ 2.12.