Question

Медиана равностороннего треугольника равна 18 см чему равен радиус описанной около него окружности?

Answer 1

∆АВС АВ=ВС=АС=а;АМ=18см;ВМ=МС=a/2
a=R√3
R=a/√3=a√3/3
AM медиан и высота
∆АМС
по теорема Пифагора
АС²=АМ²+МС²
а²=18²+а²/4
а²-а²/4=18²
3а²=4*18²
а²=4*18²/3
а=2*18/√3=36/√3=36√3/3=12√3
R=a√3/3=12√3*√3/3=12
второй вариант
точка пересечения медиан делить медиану
в отношении 2:1 , считая
от вершины
О пересечении медиан
АО=ВО=СО=R

R=2/3*AM=2/3*18=36/3=12

Answer 2

Для равностороннего треугольника, медиана, выходящая из вершины, также является высотой и медианой, и делит эту вершину на две равные части, а также делит противоположную сторону пополам. При этом, в равностороннем треугольнике все медианы равны между собой.

Пусть треугольник ABC равносторонний, и медиана AD равна 18 см. Тогда точка D делит сторону BC на две равные части, и AD является высотой. Обозначим точку O как центр описанной окружности треугольника ABC, а радиус этой окружности обозначим как R.

Таким образом, треугольник AOD является прямоугольным треугольником, где AO - радиус описанной окружности, AD - медиана (высота), и OD - половина стороны BC. Мы знаем, что AD = 18 см (медиана равностороннего треугольника).

Теперь воспользуемся свойством медианы равностороннего треугольника, которая делит сторону пополам. Пусть сторона BC равна 2a см, тогда OD = a см.

Теперь, применяя теорему Пифагора к треугольнику AOD, получаем:

AO^2 = AD^2 + OD^2 AO^2 = 18^2 + a^2

Также известно, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 градусам, а следовательно, угол AOD равен 90 градусам.

Мы можем воспользоваться формулой для нахождения радиуса описанной окружности в прямоугольном треугольнике:

AO = sqrt(AD^2 + OD^2)

Тогда подставим известные значения:

AO = sqrt(18^2 + a^2)

Теперь, чтобы найти радиус описанной окружности R, нам нужно приравнять AO к R:

R = AO = sqrt(18^2 + a^2)

Таким образом, радиус описанной окружности равностороннего треугольника равен sqrt(18^2 + a^2).