Question

Точки ABC лежат на окружности с центром в точке O. Длина дуги AB относится к длине дуги BC как 3:5, угол ABC=60∘∘. Чему равен угол AOB?

Answer 1

Если ABC равен 60 градусов, то центральный угол AOC будет вдвое большим = 120 градусов. Внешний угол AOC (дуга AC содержащая точку B) 360-120 = 240 градусов, который составлен из дуги AB = 3x и дуги BC = 5x. Найдем неизвестную величину x из уравнения 3x + 5x = 240, x = 240/8 = 30. То есть дуга AB = 3x = 30*3 = 90 градусов - искомый угол AOB.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые свойства окружностей и соотношения длин дуг.

Обозначим длину дуги AB через x и длину дуги BC через y.

1. Угол между хордой и дугой равен половине центрального угла, образованного этой дугой.
2. Центральный угол равен удвоенному углу вписанной около этой дуги хорды.

Для дуг AB и BC, длина которых соотносится как 3:5, мы можем записать следующее:

x/y = 3/5

Из условия задачи угол ABC равен 60°, и это угол вписанной около хорды BC дуги, которую мы обозначим как маленькую дугу BC.

Таким образом, угол маленькой дуги BC равен 60°, а угол дуги AB равен удвоенному углу маленькой дуги BC, то есть 2 * 60° = 120°.

Теперь у нас есть два треугольника в окружности: треугольник AOB и треугольник BOC. Угол BOC равен 60°, потому что это угол маленькой дуги BC.

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол AOB равен:

AOB = 360° - (угол BOC + угол ABC) AOB = 360° - (60° + 120°) AOB = 360° - 180° AOB = 180°

Таким образом, угол AOB равен 180°.