Question

В окружности с центром О проведены диаметр AB и хорда AC Докажите что угол C A B равен 1/2 угла С О В

Answer 1

Угол САВ- вписанный и он равен половине дуги на которую он опирается.угол СОВ-центральный и он равен той дуге на которую он опирается,следовательно, угол САВ- равен 1/2 СОВ

Answer 2

Для доказательства угла CАВ равного половине угла COB, нам понадобится некоторое предварительное утверждение.

Утверждение: Если у нас есть диаметр и хорда, пересекающаяся на окружности, то угол между хордой и диаметром будет прямым углом.

Доказательство: Пусть O - центр окружности, AB - диаметр, AC - хорда, пересекающая AB в точке D (см. рисунок ниже). Так как AB - диаметр, то угол BAD равен 90 градусов, так как все углы, ориентированные к центру окружности, равны 90 градусов. Также, так как AC - хорда, а хорда и диаметр, пересекающиеся на окружности, образуют прямой угол, угол CAD также равен 90 градусов. Теперь у нас есть два прямых угла - BAD и CAD. Это значит, что эти два угла вместе образуют половину окружности, а значит, каждый из них равен 1/2 угла полной окружности (360 градусов).

Теперь, чтобы доказать, что угол CAB равен 1/2 угла COB, докажем, что угол CAD равен углу COB.

Рассмотрим треугольник AOC: Угол OAC равен углу BOC, так как это углы, соответствующие пересекающимся хордам AB и AC. Угол OCA является углом прямоугольного треугольника AOC и равен 90 градусов (так как AO - радиус окружности, а OC - хорда, и они перпендикулярны, что делает угол OCA прямым углом).

Теперь мы имеем два треугольника: AOC и CAD. У них один общий угол ACO (этот угол равен углу BCO, так как они соответственные углы). У них также два прямых угла - углы OCA и OAC.

По утверждению, которое мы доказали ранее, такие треугольники равны, а значит, угол CAD равен углу COB.

Теперь мы можем заключить, что угол CAB также равен углу COB, так как угол CAB равен 1/2 угла CAD (половина прямого угла) и 1/2 угла COB (половина угла окружности).