Question

Вершинами треугольника ABC служат точки A(2.2), B(3.-1), его медианы пересекаются в точке (1.0). Составить уравнение высоты треугольника, проходящую через вершину С.

Answer 1

Середина стороны АВ
М = (А+В)/2 = (2+3;2-1)/2 = (5/2; 1/2)
медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1 от вершины угла
вектор МО
МО = О - М = (1-5/2; 0-1/2) = (-3/2; -1/2)
вектор МС в три раза больше
МС = С - М = 3*МО
С = М + 3*МО = (5/2; 1/2) + (-9/2; -3/2) = (-4/2; -2/2) = (-2; -1)
уравнение прямой АВ
(х-2)/(3-2) = (у-2)/(-1-2)
х-2 = -у/3 + 2/3
3х - 6 = -у + 2
у = -3х + 8
уравнение перпендикуляра к АВ в общем виде.
у = х/3 + b
и проведём этот перпендикуляр через точку С
-1 = -2/3 + b
b = -1/3
уравнение высоты
у = х/3 - 1/3

Answer 2

Для составления уравнения высоты треугольника, проходящей через вершину С, нам понадобится найти координаты вершины C. Поскольку известны координаты точек A и B, и точка (1, 0) является точкой пересечения медиан треугольника ABC, можем найти координаты вершины C путем удвоения координат точки (1, 0) и вычитания из них координаты вершины B.

1. Найдем координаты вершины C: Координаты точки (1, 0) удвоим: (12, 02) = (2, 0). Теперь вычтем координаты вершины B: C(2 - 3, 0 - (-1)) = C(-1, 1).

Таким образом, координаты вершины C равны (-1, 1).

2. Найдем уравнение прямой, проходящей через вершину C и перпендикулярной стороне AB. Для этого воспользуемся следующими шагами:

• Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(2, 2) и B(3, -1): Угловой коэффициент (m) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 2) / (3 - 2) = -3.

• Так как искомая высота является перпендикулярной к стороне AB, то угловой коэффициент искомой прямой будет обратным числу, противоположным угловому коэффициенту стороны AB. Таким образом: Угловой коэффициент искомой высоты (m') = -1 / (-3) = 1/3.

• Уравнение прямой высоты имеет вид y = mx + b, где m - угловой коэффициент, а b - y-пересечение (точка, где прямая пересекает ось y).

• Подставим известные значения (координаты вершины C) в уравнение и найдем b: 1 = (1/3)(-1) + b 1 = -1/3 + b b = 1 + 1/3 b = 4/3.

Таким образом, уравнение высоты треугольника, проходящей через вершину С, имеет вид: y = (1/3)x + 4/3.