Question

медианы BD и CE треугольника ABC взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC, если BD=1.5, CE=4

Answer 1

ДАНО: ∆ АВС ; ВD перпендикулярен СЕ ; BD = 1,5 ; CE= 4

НАЙТИ: S abc
________________________

РЕШЕНИЕ:

Пусть точка пересечения медиан ВD и СЕ будет точка О.

По свойству медианы:
Медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Значит, отрезки ВD и СЕ состоят из трёх равных частей.

OD = 1,5 : 3 = 0,5 - одна часть

BO = 2 × 0,5 = 1 - две части

По свойству медианы:
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. треугольники с равными площадями.

S ebc = S aec

Найдём площадь ∆ ЕВС:

S ebc = 1/2 × EC × BO = 1/2 × 4 × 1 = 2

Значит, S abc = 2 × S ebc = 2 × 2 = 4

ОТВЕТ: 4

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника ABC, нам нужно узнать длину стороны BC. Поскольку медианы BD и CE взаимно перпендикулярны, это означает, что они делят друг друга пополам, а также делят треугольник на четыре равные маленьких треугольника.

Пусть точка пересечения медиан будет точкой M. Тогда BM = MD = 1.5 и CM = ME = 4.

Теперь, чтобы найти длину стороны BC, нам нужно использовать теорему Пифагора для треугольника BMC:

BC^2 = BM^2 + CM^2 BC^2 = 1.5^2 + 4^2 BC^2 = 2.25 + 16 BC^2 = 18.25 BC = √18.25 BC ≈ 4.27 (округляем до двух десятичных знаков)

Теперь, когда у нас есть длина всех сторон треугольника ABC, мы можем найти его площадь, используя формулу Герона:

Полупериметр треугольника p = (AB + BC + AC) / 2

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))

где S - площадь треугольника.

Вычислим полупериметр:

p = (1.5 + 4.27 + AC) / 2 p = (5.77 + AC) / 2 p ≈ 2.885 + 0.5AC

Теперь зная полупериметр, можем вычислить площадь треугольника ABC:

S = √(2.885 * (2.885 - 1.5) * (2.885 - 4.27) * (2.885 - AC))

Теперь остается найти значение AC. Для этого заметим, что AC является медианой, и медиана делит сторону на две равные части. Таким образом, AC = 2 * CM = 2 * 4 = 8.

Теперь, подставив значение AC, можем вычислить площадь треугольника:

S = √(2.885 * (2.885 - 1.5) * (2.885 - 4.27) * (2.885 - 8)) S = √(2.885 * 1.385 * (-1.385) * (-5.115)) S = √(2.885 * 1.910 * 5.115) S = √(27.714) S ≈ 5.26

Площадь треугольника ABC составляет примерно 5.26 квадратных единиц.