Question

На плоскости изображена окружность радиуса 2000. Найдите ГМТ M, для каждой из которых расстояние до ближайшей к M точки окружности равно 1.

Answer 1

1) Пусть точка M лежит вне окружности. O - центр окружности, точка T - пересечение отрезка OM и окружности. Возьмем на окружности точку T1, не лежащую на OM. В треугольнике MT1O сторона OM меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника),

MT+OT<MT1+OT1 <=> MT<MT1 (OT=OT1, радиусы)

Таким образом, чтобы длина MT была минимальной, T должна лежать на OM. Если M вне окружности, MT=1, OT=2000, то OM=MT+OT=2001. Искомое ГМТ - окружность радиусом 2001 с центром данной окружности.

2) Аналогично доказывается, что если точка M лежит внутри окружности, то искомое ГМТ - окружность радиусом 1999 (OM=OT-MT) с центром данной окружности.

Answer 2

Для нахождения точек M, для которых расстояние до ближайшей точки окружности равно 1, следует учитывать, что такие точки M находятся на равноудаленном расстоянии от окружности. Эти точки являются точками касания между окружностью и её касательными.

Касательные к окружности радиуса R проводятся из внешних точек радиуса R/2. Таким образом, первая из двух точек M находится на расстоянии R/2 = 2000/2 = 1000 от центра окружности.

Теперь, для нахождения второй точки M, мы проведем прямую, соединяющую центр окружности (O) с первой точкой M, которую мы уже нашли. Эта прямая будет проходить через центр окружности и иметь длину R+1, так как мы хотим найти точку на расстоянии 1 от окружности.

Таким образом, координаты второй точки M будут находиться на прямой, проходящей через центр окружности (0, 0) и первую точку M (1000, 0). Общий угол между осью x и этой прямой равен углу в центре окружности между радиусами, проведенными к двум точкам M (угол MOA на рисунке ниже).

perlCopy code
          M1 (1000, 0)
           /|
          / |
         /  |
        /   | R
       /    |
      /     |
     O------M2
    (0,0)   /
          /

Мы знаем, что угол MOA равен углу AOM2, так как MOA и AOM2 - соответственные углы.

Теперь, можно использовать тригонометрические функции, чтобы найти координаты второй точки M (M2).

Координаты M2: x2 = R * cos(2 * угол MOA) y2 = R * sin(2 * угол MOA)

Значение угла MOA можно найти, используя тангенс угла AOM1: tan(угол AOM1) = (R/2) / R тангенс угла AOM1 = 1/2

Таким образом, угол MOA = atan(1/2) ≈ 26.57 градусов.

Теперь, можем найти координаты M2: x2 = 2000 * cos(2 * 26.57) x2 ≈ 2000 * cos(53.14) x2 ≈ 2000 * 0.600 x2 ≈ 1200

y2 = 2000 * sin(2 * 26.57) y2 ≈ 2000 * sin(53.14) y2 ≈ 2000 * 0.800 y2 ≈ 1600

Таким образом, вторая точка M (M2) будет иметь координаты (1200, 1600).

Итак, две точки M с расстоянием 1 от окружности: M1 (1000, 0) и M2 (1200, 1600).