Question

Треугольник АВС – правильный, О – центр треугольника. OM ⊥ ABC; OM = 2√2. Расстояние от точки M до вершины A равно 3. Найдите высоты треугольника. Решите пожалуйста подробно, с рисунком

Answer 1

В правильном треугольнике высоты, медианы и биссектрисы равны, а центр треугольника делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Рассмотрим треугольник АОМ. Перпендикуляр ОМ - катет, отрезок АМ (расстояние от точки М до вершины А) - гипотенуза. Тогда отрезок АО по Пифагору равен АО=√(АМ²-МО²) = √(9-8) =1. А так как АО = 2/3 высоты треугольника, то высота эта равна 1*3/2 = 1,5.

Ответ: высоты треугольника АВС равны 1,5 ед.

Как, в прочем, медианы и биссектрисы.

Answer 2

Для начала давайте нарисуем правильный треугольник ABC и точку M на нём:

cssCopy code
       B
       /\
      /  \
     /    \
    /______\
   A        C
       M

Так как треугольник ABC – правильный, все его стороны равны, а углы равны 60 градусов. Также, так как O – центр треугольника, отрезок OM является медианой, а также высотой и биссектрисой.

По условию, мы знаем, что OM = 2√2 и расстояние от точки M до вершины A равно 3. Давайте обозначим высоты треугольника как hA, hB и hC, а сторону треугольника как a.

Нам понадобится теорема Пифагора, чтобы найти сторону треугольника a:

(1) a^2 = OM^2 + hA^2 (2) a^2 = (2√2)^2 + 3^2 (3) a^2 = 8 + 9 (4) a^2 = 17 (5) a = √17

Теперь, чтобы найти высоту треугольника hA, проведём прямую AM и обозначим точку пересечения с стороной BC как N:

cssCopy code
       B
       /\
      /  \
     / N  \
    /___M__\
   A        C
       M

Так как треугольник ABC – правильный, то AM – медиана, и точка N делит сторону BC пополам.

Теперь у нас есть два треугольника: AMN и ABC. Рассмотрим треугольник AMN. Так как OM ⊥ ABC, то угол OMC прямой, и мы можем использовать теорему Пифагора:

(6) MN^2 = OM^2 + ON^2 (7) MN^2 = (2√2)^2 + (a/2)^2 (8) MN^2 = 8 + (√17/2)^2 (9) MN^2 = 8 + 17/4 (10) MN^2 = 41/4

Теперь, так как AM является медианой, то её длина равна половине стороны BC:

(11) AM = BC / 2 (12) AM = √17 / 2

Мы можем использовать формулу площади треугольника через его медиану и высоту:

(13) S_ABC = (2/3) * AM * hA

Теперь можем найти площадь треугольника ABC двумя способами:

(14) S_ABC = (1/2) * a * hA (формула для площади треугольника через сторону и высоту) (15) S_ABC = (1/2) * BC * OM (формула для площади треугольника через сторону и высоту, проведённую к этой стороне)

Таким образом, мы можем записать:

(1/2) * a * hA = (1/2) * BC * OM (1/2) * √17 * hA = (1/2) * √17 * 2√2 hA = 2√2

Таким образом, высота треугольника hA равна 2√2. Аналогично, высоты hB и hC также будут равны 2√2.