Question

Две окружности касаются внешним образом в точке K. На их общей внутренней касательной отмечена точка P таким образом, что KP=14. Через точку P к окружностям проведены две секущие так, что одна из них высекает на первой окружности хорду AB=45, а другая — на второй окружности хорду CD=21, причём точка A лежит между точками B и P, а точка C — между точками D и P. Найдите отношение BC:AD. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Answer 1

ответ BC/AD = 4/5. задачка легкая

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства касательных и хорд окружностей.

Пусть O₁ и O₂ - центры первой и второй окружностей соответственно. Также пусть M и N - точки касания с общей касательной для первой и второй окружности соответственно.

Так как OK является суммой радиусов окружностей, то KM = 14 + r₁ и KN = 14 + r₂.

Также, по свойству касательных и хорд, мы можем составить следующие уравнения:

1. (KP)² = (KM) * (KN)
2. (KP + 45)² = (KA) * (KB)
3. (KP + 21)² = (KC) * (KD)

Обратите внимание, что KA, KB, KC и KD - длины секущих от точки P к окружностям.

Теперь выразим KA и KC через BC и AD, соответственно:

KA = KB + AB = BC + 45 KC = KD + CD = AD + 21

Подставим эти значения в уравнения (2) и (3):

(KP + 45)² = (BC + 45) * (AD + 45) (KP + 21)² = (BC + 21) * (AD + 21)

Раскроем скобки:

KP² + 90KP + 2025 = BC * AD + 45 * BC + 45 * AD + 2025 KP² + 42KP + 441 = BC * AD + 21 * BC + 21 * AD + 441

Теперь вычтем уравнение (1) из обоих уравнений выше:

90KP = BC * AD + 45 * BC + 45 * AD 42KP = BC * AD + 21 * BC + 21 * AD

После этого выразим BC * AD:

90KP - 42KP = 45 * BC + 45 * AD - 21 * BC - 21 * AD 48KP = 24 * BC + 24 * AD BC * AD = (48KP) / 24 = 2KP

Теперь осталось найти значение KP. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике KMP:

KP² + (14 + r₁)² = r₁² KP² + 196 + 28r₁ + r₁² = r₁²

KP² + 28r₁ + 196 = 0

Теперь зная, что KP = 14 и решив квадратное уравнение, мы получим значение r₁ (радиус первой окружности). Затем можно найти и r₂, так как обе окружности касаются внешним образом, и r₂ = r₁ + 14.

Итак, рассчитаем значение KP:

KP² + 28r₁ + 196 = 0 14² + 28r₁ + 196 = 0 196 + 28r₁ = 0 28r₁ = -196 r₁ = -7

Так как радиус не может быть отрицательным, отбрасываем это решение и рассматриваем другой корень:

r₁ = -7 + 14 = 7

Теперь находим r₂:

r₂ = r₁ + 14 = 7 + 14 = 21

Теперь можем найти значение BC * AD:

BC * AD = 2KP = 2 * 14 = 28

Ответ: BC:AD = 28:1.