Question

У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює a і утворює з площиною основи кут 45°. Обчисліть: а) висоту піраміди; б) площу основи; в) радіус кола, вписаного (описаного) в основу (навколо основи); г) апофему

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для обчислення різних параметрів правильної чотирикутної піраміди, дані ребро і кут з площиною основи можна використати наступні формули:

1. Висота піраміди (h) може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного бічним ребром, півбічним ребром (с) та висотою основи (h₀): h² = a² - (h₀/2)²

2. Площа основи (S₀) розраховується за формулою для площі квадрата (припускаючи, що основа піраміди - квадрат): S₀ = a²

3. Радіус кола, вписаного в основу (r₀), можна знайти за допомогою відомої висоти піраміди (h₀) і площі основи (S₀) з використанням формули: r₀ = (S₀ / h₀) / 2

4. Радіус кола, описаного навколо основи (R₀), можна знайти також, використовуючи відомі значення площі основи (S₀) та півбічного ребра (c): R₀ = (c / 2) * √2

5. Апофема (f) - це відстань від вершини піраміди до середини сторони основи. Знаходиться за допомогою півбічного ребра (c) і висоти піраміди (h₀): f = √(c² - (h₀/2)²)

Зауважте, що півбічне ребро (c) може бути знайдене за допомогою тригонометричних функцій, використовуючи відомий кут між бічним ребром і площиною основи (45° у вашому випадку):

c = a / cos(45°) = a / (√2 / 2) = a√2

Тепер розрахуємо всі величини:

a) Висота піраміди (h): h² = a² - (h₀/2)² h² = a² - (a/2)² h² = a² - a²/4 h² = 3a²/4 h = √(3a²/4) = √3/2 * a (позитивне значення, бо висота - додатня величина)

б) Площа основи (S₀): S₀ = a²

в) Радіус кола, вписаного в основу (r₀): r₀ = (S₀ / h₀) / 2 r₀ = (a² / (a√2)) / 2 r₀ = a / (2√2) = a√2 / 4

г) Радіус кола, описаного навколо основи (R₀): R₀ = (c / 2) * √2 R₀ = (a√2 / 2) * √2 R₀ = a

д) Апофема (f): f = √(c² - (h₀/2)²) f = √((a√2)² - (a/2)²) f = √(2a² - a²/4) f = √(8a²/4 - a²/4) f = √(7a²/4) f = √7/2 * a

Таким чином, отримали наступні значення: а) Висота піраміди (h) = √3/2 * a б) Площа основи (S₀) = a² в) Радіус кола, вписаного в основу (r₀) = a√2 / 4 г) Радіус кола, описаного навколо основи (R₀) = a д) Апофема (f) = √7/2 * a