Question

50 баллов!!!!! Диагонали вписанного четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке P. точка M - середина стороны CD. Докажите что OM=AB/2, где О - центр описанной окружности четырехугольника. С подробным решением пж!

Answer 1

Вот так если я не ошибаюсь

Answer 2

Для доказательства того, что OM = AB/2, мы сначала заметим некоторые свойства данного четырехугольника ABCD.

1. Свойство перпендикулярных диагоналей: Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то этот четырехугольник является ромбом. Таким образом, ABCD - ромб.

2. Свойство центра описанной окружности: Для ромба центр описанной окружности совпадает с центром ромба, то есть пересечением его диагоналей. Обозначим центр описанной окружности как O.

Теперь докажем, что OM = AB/2.

Доказательство:

1. Поскольку M - середина стороны CD, то CM = MD. (Свойство серединного перпендикуляра)

2. Так как ABCD - ромб, то все его стороны равны. Обозначим длину стороны AB (или BC, CD, AD) как a.

3. Рассмотрим треугольник OMC. Так как OM - медиана треугольника ODC, то по свойству медианы:

   OM = (1/2) * OD.

4. Также, поскольку ABCD - ромб, то диагонали равны и OD = a.

   Подставим OD = a в предыдущее уравнение:

   OM = (1/2) * a.

5. Таким образом, получаем, что OM = a/2.

6. Но мы также знаем, что AB = a, поскольку все стороны ромба равны.

7. Следовательно, OM = AB/2.

Таким образом, доказано, что OM = AB/2, что и требовалось доказать.