Question

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит отрезок QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите отношение PN:PR.

Answer 1

Ответ:

$\frac{n}{m}$

Объяснение:

Пусть QL и NR пересекаются в одной точке - A.

NQ=LR=a

Через точку Q проведём прямую, которая параллельна PR. Пусть эта прямая будет пересекаться с прямой NR в точке B. Из подобия треугольников BAQ и RAL следует, что $BQ=LR*\frac{AQ}{AL} =a*\frac{m}{n}$

Из этого подобия треугольников BNQ и RNP находим, что $\frac{PN}{PR} =\frac{NQ}{BQ}=\frac{a}{a*\frac{m}{n} } =\frac{n}{m}$

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. Обозначим отношение PN:PR за x.

Так как NQ = LR, можно сказать, что треугольники QNR и LQR подобны. Поэтому отношение длин отрезков QR и QL будет равно отношению длин отрезков NR и RL:

QR / QL = NR / RL

Мы знаем, что QL делится точкой пересечения отрезков QL и NR в отношении m:n, считая от точки Q. Поэтому можно записать следующее:

QL / NR = (m + n) / n

Теперь нам нужно выразить QL и NR через x, используя подобие треугольников.

Мы знаем, что треугольники PNR и PQL подобны. Так как PN:PR = x, то соответствующие стороны треугольников PNR и PQL также имеют отношение x:

PN / PR = QL / NR = x

Теперь можем записать уравнение для отношения отрезков QR и QL через x:

QR / QL = x

Также у нас есть уравнение для отношения QL и NR:

QL / NR = (m + n) / n

Из этих двух уравнений можем получить уравнение для x:

x = QR / QL = (m + n) / n

Теперь, чтобы найти отношение PN:PR, заменим x в уравнении PN / PR = x:

PN / PR = (m + n) / n

Таким образом, отношение PN:PR равно (m + n) / n.