Question

В прямоугольной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите площадь трапеции, если боковые стороны равны 8 см и 10 см

Answer 1

Площадь трапеции равна 104

Answer 2

Чтобы найти площадь трапеции, давайте обозначим данную трапецию и рассмотрим её свойства.

Пусть ABCD - прямоугольная трапеция, где AB и CD - параллельные основания, а AC и BD - диагонали. Также дано, что диагональ AC является биссектрисой острого угла, то есть делит угол между основаниями на два равных угла.

Из условия задачи у нас есть боковые стороны AD и BC равные 8 см и 10 см соответственно.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем, что AC является биссектрисой острого угла, значит, угол CAD равен углу DAB. Поскольку у трапеции прямые углы, то угол CAD + угол ACD = 90°. Таким образом, оба угла CAD и ACD равны 45°.

Теперь у нас есть информация о треугольнике ACD:

1. Углы CAD и ACD равны 45°.
2. AD = 8 см.
3. AC (и BD) - диагональ трапеции.

Теперь мы можем рассчитать длину диагонали AC, используя теорему синусов:

$\frac{AD}{\sin(CAD)} = \frac{AC}{\sin(ACD)}$

$\frac{8}{\sin(45^\circ)} = \frac{AC}{\sin(45^\circ)}$

$AC = 8$

Теперь у нас есть длины оснований AB и CD (8 см и 10 см соответственно) и длина диагонали AC (8 см).

Теперь можем найти площадь трапеции используя формулу:

$S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h$

где $h$ - высота трапеции. Высота трапеции равна расстоянию между основаниями и может быть найдена с использованием теоремы Пифагора в треугольнике ABC:

$h = \sqrt{AC^2 - \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2}$

$h = \sqrt{8^2 - \left(\frac{8 - 10}{2}\right)^2}$

$h = \sqrt{64 - 1}$

$h = \sqrt{63} \approx 7.94 \text{ см}$

Теперь, подставляя значения $AB = 8$ см, $CD = 10$ см и $h \approx 7.94$ см в формулу для площади трапеции:

$S = \frac{1}{2} \times (8 + 10) \times 7.94$

$S = \frac{1}{2} \times 18 \times 7.94$

$S \approx 71.1 \text{ см}^2$

Ответ: площадь трапеции составляет примерно 71.1 квадратных сантиметров.