Question

в круге радиуса R проведены две пересекающиеся под прямым углом хорды. найти сумму квадратов хорд если расстояние от центра круга до их точки пересечения d

Answer 1

        Решение : ////////////////////////////////////

Answer 2

▪ Пусть ∠CDЕ = α , тогда ∠ЕCD = 90° - α

В ΔBCD по т. синусов:  ВС/sinα = 2R  ⇒  BC = 2R•sinα

В ΔACD по т. синусов:  AD/sin( 90° - α ) = 2R  ⇒  AD = 2R•cosα

BC² + AD² = ( 2R•sinα )² + ( 2R•cosα )² = 4R²•sin²α + 4R²•cos²α = 4R²•( sin²α + cos²α ) = 4R²

Значит, ( BЕ² + CЕ² ) + ( AЕ² + KЕ² ) = 4R²

▪ По свойству пересекающихся хорд:  CE • AE = BE • DE = PE • TE = ( R - d ) • ( R + d ) = R² - d²

AC² + BD² = ( CE + AE )² + ( BE + DE )² = CE² + AE² + BE² + DE² + 2•CE•AE + 2•BE•DE = 4R² + 4( R² - d² ) = 8R² - 4d² = 4•( 2R² - d² )

===================================================================

Заметим, что при любом расположении хорд данное значение сохраняется. Пусть АС - диаметр окружности, тогда ОЕ = d

ΔBOD - равнобедренный ( ВО = ОD )  ⇒  OE - высота, биссектриса, медиана  ⇒  ВЕ = DE

В ΔOED по т. Пифагора:  ЕD = √( OD² - OE² ) = √( R² - d² )  ⇒  BD = 2√( R² - d² )

AC² + BD² = ( 2R )² + (  2√( R² - d² )  )² = 4R² + 4( R² - d² ) = 8R² - 4d² = 4•( 2R² - d² )

ОТВЕТ: 4•( 2R² - d² )

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами пересекающихся хорд в круге.

Пусть AB и CD - две пересекающиеся хорды, пересекающиеся в точке P под прямым углом. O - центр круга, R - его радиус. Также дано расстояние d от центра O до точки пересечения P.

Заметим, что каждая из хорд делит другую пополам, и также образует прямоугольный треугольник с равными катетами d/2 (половина от d) и гипотенузой R. Это происходит потому, что центральный угол, соответствующий хорде, всегда вдвое больше угла, образованного хордой и диаметром.

Теперь, для нахождения длины каждой хорды, можем использовать теорему Пифагора для указанного прямоугольного треугольника:

Длина хорды AB = 2 * √(R^2 - (d/2)^2) Длина хорды CD = 2 * √(R^2 - (d/2)^2)

Для нахождения суммы квадратов этих хорд, просто возводим каждую длину хорды в квадрат и складываем:

Сумма квадратов хорд = (2 * √(R^2 - (d/2)^2))^2 + (2 * √(R^2 - (d/2)^2))^2 = 4 * (R^2 - (d/2)^2)

Итак, сумма квадратов хорд равна 4 * (R^2 - (d/2)^2).