Question

1. В треугольнике угол С прямой, ВС = 5 см, АС = 12 см. ∠А =α. Найдите синус, косинус, тангенс угла α. 2. Медианы треугольника MNK пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная MK и пересекающая стороны MN и NK в точках A и Bсоответственно. Найдите длину MК, если сторона АB равна 12 см. 3. В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С = 90°) медианы пересекаются в точке О, ОВ = 10 см, ВС =12 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Answer 1

1. 1) по теореме пифагора найдем гипотенузу: АВ²=144+25=169

АВ=13 см.

2)sin a=5/13

cos a=12/13

tg a=5/12

ctg a=12/5=2,4

Answer 2

1. Для решения задачи о треугольнике с углом С прямым, сначала найдем длину стороны AC с использованием теоремы Пифагора, а затем рассчитаем синус, косинус и тангенс угла α.

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: AC² = AB² + BC²

Дано: BC (ВС) = 5 см, AB (АС) = 12 см.

1. Найдем длину стороны AC: AC² = 12² + 5² AC² = 144 + 25 AC² = 169 AC = √169 AC = 13 см

2. Теперь рассчитаем синус угла α: sin(α) = BC / AC sin(α) = 5 / 13 sin(α) ≈ 0.3846

3. Рассчитаем косинус угла α: cos(α) = AB / AC cos(α) = 12 / 13 cos(α) ≈ 0.9231

4. Наконец, рассчитаем тангенс угла α: tan(α) = BC / AB tan(α) = 5 / 12 tan(α) ≈ 0.4167

2. Для решения задачи о треугольнике MNK, где медианы пересекаются в точке O, и прямая, проведенная через О параллельна МК, нужно воспользоваться свойством медиан треугольника.

Свойство медиан треугольника: Медиана делит сторону треугольника пополам и создает два равных треугольника.

Пусть точка О делит сторону MK на две равные части. Пусть длина MK равна х, тогда MO = OK = х/2.

Дано: AB = 12 см (это длина отрезка, проведенного через О, параллельного MK).

Из свойства медианы и параллельности прямых: AB = 2 * MO

Так как MO = х/2, то 12 = 2 * (х/2) 12 = х

Ответ: длина MK (х) равна 12 см.

3. В прямоугольном треугольнике ABC (угол С = 90°) медианы пересекаются в точке O, и ОВ = 10 см, ВС = 12 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Так как O - точка пересечения медиан, она делит каждую медиану пополам. Пусть AM и BN - медианы, и их пересечение - точка О.

1. Длина AM = 2/3 * BM (соотношение длин медиан прямоугольного треугольника).

Пусть BM = x, тогда AM = 2/3 * x.

2. Из прямоугольного треугольника ВСО (где О - точка пересечения медиан) применим теорему Пифагора:

BC² = BO² + OC².

Дано: BO = 10 см, ВС = 12 см.

3. Найдем длину OC: OC² = BC² - BO² OC² = 12² - 10² OC² = 144 - 100 OC² = 44 OC = √44 OC ≈ 6.63 см.

4. Найдем длину BM: BM² = BO² + MO² (где MO = OC / 2) BM² = 10² + (6.63 / 2)² BM² = 100 + 22.0225 BM² ≈ 122.0225 BM ≈ √122.0225 BM ≈ 11.05 см.

5. Теперь найдем длину AM: AM = 2/3 * BM AM = 2/3 * 11.05 AM ≈ 7.37 см.

6. Наконец, найдем длину гипотенузы AC: AC = 2 * AM AC = 2 * 7.37 AC ≈ 14.74 см.

Ответ: длина гипотенузы треугольника ABC примерно равна 14.74 см.