Question

У прямокутну трапецію вписано коло. Точка дотику ділить більшу з бічних сторін трапеції на відрізки завдовжки 16 см і 36 см. Знайдіть площу трапеції.

Answer 1

на фото...................

Answer 2

Позначимо сторони прямокутної трапеції наступним чином:

AB - менша основа (довжина 16 см), CD - більша основа (довжина 36 см), BC і AD - бічні сторони трапеції (причому BC > AD, оскільки AD є меншою бічною стороною).

Так як трапеція вписана в коло, то згідно з властивостями вписаних кутів, кут між хордою (BC) і дотичною (AD) дорівнює половині кута кола, що стоїть на дугові BC.

Зазначимо точку дотику як О, а центр кола - як O. Тоді довжина хорди BC дорівнює 36 см, довжина дотичної AD дорівнює 16 см, а довжина радіуса кола (OA або OB) є невідомою.

За теоремою про дотичні і хорди, маємо: BC * BC = BO * BA, 36 * 36 = BO * (BO + 16).

За теоремою про дотичні і хорди, маємо: AD * AD = AO * AB, 16 * 16 = AO * (AO + 36).

Розв'яжемо ці рівняння для BO та AO:

1. 36 * 36 = BO * (BO + 16)
2. 16 * 16 = AO * (AO + 36)

Після вирішення отримаємо, що BO ≈ 24.49 см і AO ≈ 19.09 см.

Тепер маємо всі необхідні виміри та можемо знайти площу трапеції:

Площа трапеції (S) дорівнює сумі площі прямокутного трикутника BOC, площі кола з радіусом AO та площі прямокутного трикутника AOD.

1. Площа трикутника BOC: S_BOC = (1/2) * BC * BO = (1/2) * 36 * 24.49 ≈ 440.82 кв. см.

2. Площа кола з радіусом AO: S_circle = π * AO^2 ≈ 3.14 * (19.09)^2 ≈ 1147.81 кв. см.

3. Площа трикутника AOD: S_AOD = (1/2) * AD * AO = (1/2) * 16 * 19.09 ≈ 152.96 кв. см.

Тепер додамо ці площі, щоб знайти загальну площу трапеції:

S_trapezoid = S_BOC + S_circle + S_AOD ≈ 440.82 + 1147.81 + 152.96 ≈ 1741.59 кв. см.

Отже, площа трапеції приблизно дорівнює 1741.59 кв. см.