Question

Из точки С проведены касательные к окружности, М и К точки касания. Найдите радиус окружности, если угол МСК=60, СМ=12 см

Answer 1

ОМ⊥СМ, ОК⊥СК, по свойству радиуса, проведенного в точку касания где точка О-центр окружности. Точка О равноудалена от сторон угла МСК на расстояние, равное радиусу, а отрезки касательных СМ и СК равны по свойству, тогда угол МСО равен 60°/2=30°, а против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, т.е. радиус окружности МО равен 12/2=6/см/

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами касательных и окружностей. Для начала, посмотрим на следующую схему:

bashCopy code
           К
          /|\
       r / | \ r
        /  |  \
       /   |   \
      /    |    \
     /     |     \
    /______|______\
   М       С       М

где С - центр окружности, М и К - точки касания касательных, МСК - угол в точке С, СМ - отрезок М до С.

У нас имеется равнобедренный треугольник МСК, так как две касательные из точки С к окружности равны, что следует из свойства касательных. Следовательно, угол МСК равен углу МКС.

Так как у нас уже известен угол МСК (60°) и длина отрезка СМ (12 см), можно применить тригонометрические соотношения для равнобедренного треугольника.

Для начала, найдем длину отрезка КС. Обозначим радиус окружности как r. Тогда КС = r, так как К - точка касания касательной и окружности, а С - центр окружности.

Зная угол МСК и длину СМ, можем найти длину КМ, используя тригонометрию:

cos(МСК) = КМ / СМ cos(60°) = КМ / 12 1/2 = КМ / 12 КМ = 12 * 1/2 = 6 см

Теперь можем найти длину КС с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника КМС:

КС^2 = КМ^2 + СМ^2 r^2 = 6^2 + 12^2 r^2 = 36 + 144 r^2 = 180

Теперь найдем радиус окружности r:

r = √180 ≈ 13.42 см

Таким образом, радиус окружности составляет приблизительно 13.42 см.